自然数个数是有限的还是无穷的（为什么说代数数是可数无穷）

前面有关《康托尔带你走进“超越数的大门》一文说明了康托尔运用对角线法从有理数得出无理数的方法，以及自然数与有理数

数量一样，我们总能用康托尔的方法构建一个集合外的数。

代数数与无理数都是可数无穷，于是就可以用康托尔的对角线法构造一个不是代数数的数了，也就是超越数

列出全体代数数的一个很重要的原理是一个2次方程之多2个实根，而21次方程，比如说图中这个，之多能有21个实根，接下来说一下列出全体代数数的操作流程，我们已经列出全体分数了，而全体分数是系数为整数A,B的全体线性方程的根，当然你也可以创造你自己的方法

在列出所有有理数后，我们要写上所有的2次无理数

它们是系数为整数A,B,C的全体2次方程的根，下一步就如同我们从里到外走过的这张全体整数对组成的2D数阵，我们走过了全体分数，现在我们来到三元整数对（A,B,C）组成的3D数阵，我们便能走过所有的2次方程

对于每个我们遇到的2次方程，我们把它们的解添加到列表上，我们要排除分数根，因为已经在之前的清单上列过了，同时也要排除这一阶段已经列过的2次无理根

这样，我们就列出了全体2次无理数，包括根号2，黄金比例之类

接下来，我们用同样的操作取取处理3次无理数，以及更高次的

现在我们把它们列在一起，现在这张2D数阵，囊括了全体代数数，每个数恰好一个

最后阶段，我们像这样把数阵缝起来，按照蓝线的路径把遇到的代数数列出来

这只是其中一种列法发，还有无穷多个列法，我们再用康托尔对角法，把列出来的数转换成超越数，而康托尔对角法的用途不止在于生成一个超越数

我们还能用来研究超越数有多少个，在重申一遍，用康托尔的对角线法可以生成一个实数，不属于任何可数无穷数集，那么实数集本身呢？实数集是可数无穷集吗？

很显然不是，因为如果实数集是可数的，那么我们就能生成一个不属于实数集的实数，很显然这是不可能的，那就真的变成“超越”数了，无论如何，我们无法生成实数集外的实数，因此，意味着实数是不可列的，它们组成的是一个不可数无穷集。

不可数无穷，显然比可数无穷要大得多，所以说，实数是不可数无穷，而代数数是可数无穷。