五年级下册数的整除奥数练习题（五年级奥数知识点）

数的整除

数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

　一、基本概念和知识

1.整除——约数和倍数

例如：15÷3=5，63÷7=9

一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。

能被30以下质数整除的数的特征

大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除。因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征。在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的特征。

为了叙述起见，我们把讨论的数N记为：

我们已学过同余，用mod 2表示除以2取余数，有公式：

① N≡a0（mod 2）

② N≡a1a0(mod 4)

③ N≡a2a1a0(mod 8)

④ N≡a3a2a1a0(mod 16)

这几个公式表明一个数被2（4，8，16）整除的特性，而且表明了不能整除时，如何求余数。

此外，被3（9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被3（9）整除。我们借用同余记号及一些运算性质来重新推证一下。如（mod 9），如果：

N= a3a2a1a0 = a3×1000＋a2×100＋a1×10＋a0

= a3×(999＋1)＋a2×(99＋1)＋a1×(9＋1)＋a0

= (a3＋a2＋a1＋a0)＋(a3×999＋a2×99＋a1×9)

那么，等式右边第二个括号中的数是9的倍数，从而有

N≡a3＋a2＋a1＋a0(mod 9)

对于mod 3，理由相仿，从而有公式：

⑤ N≡(…＋a3＋a2＋a1＋a0) (mod 9)

N≡(…＋a3＋a2＋a1＋a0) (mod 3)