机器学习模拟图（机器学习-超平面）

一、超平面是什么？

维基百科的定义：

In geometry a hyperplane is a subspace of one dimension less than its ambient space.

翻译过来：在几何中，超平面指的是比所处空间少一个维度的子空间。

什么鬼，能不能说人话？

莫急，接着看。

我们都知道，0维的点可以把1维的线分成两部分：

1维的线可以把2维的面分成两部分：

2维的面可以把3维的体分成两部分：

依此类推，n-1维的子空间可以把n维空间分成两部分。

所以，超平面就是这个n-1维子空间，它就像3维空间中的平面，可以用来分割n维空间。

二、为什么叫超平面？

没有查到“超平面”名字的来源，以下纯属个人猜测，如果有误，欢迎指正。

我们生活在3维空间，并把2维空间起名为“平面”，用来分割3维空间。

对于更高维的空间n，既然可以被n-1维的空间进行分割，类似于三维空间的平面，而我们又没办法想象它的样子，也不好一一命名，不妨干脆就叫“超平面”，既简单，也比较直观，方便理解。

所以，这个超的含义，更多的应该是高维。

三、超平面的公式

对于一个n维空间，超平面应该如何表示？

设x0为超平面上的点，ω为超平面的法向量。对于超平面上任何一点x，有：

令：

则有：

这就是超平面的公式。

四、点到超平面的距离

设n维空间中超平面的方程为：

其中ω为法向量，Q为平面上的点。

对于空间中的任一点P，到超平面的距离为PQ在ω上的投影d，如下图所示：

由三角函数关系知：

,