泰勒万能公式（强悍的泰勒公式）

“初次见你，我是那么讨厌你，后来的生活越来越离不开你，现在你是我心中的女皇。” ——献给美丽的泰勒公式

当我们开始上高数课或数分课大约二个月的时候，就会碰到这个令人生厌的泰勒公式，因为她太麻烦太复杂。一是她有那么多项，二是她要我们求那么多的各阶导数，三是带着一个不知道是几的中值余项，拜托，既然不知道中值是几，还弄出这个余项干么？哦，打住，别抱怨，你会慢慢爱上她的！！！

当 x>0 很小时，考虑 x、sin x 和 tan x 的差别有多大？回答这个问题首先要确定一个标准，就是他们之间是简单倍数关系？还是“数量级”的不同？对于初学者来说，可能还需要不少脑洞。但对于进阶者来说，马上就可以知道结果，因为当 x→0 时 sin x ～ tan x ～x，三者是等价的，不太确切地说是三者几乎相等(注意不是绝对相等)。哦，你觉得简单说明你已经差不多理解等价无穷小了。

那么进一步，把三者稍微运算一下，看看当 x>0 很小时，tan xㄧsin x 和 x^² 的差别有多大？稍有经验的同学懂得乘积情况下，因子可以用等价无穷小替换来求极限，故前者比后者小的多，因为 tan xㄧsin x=sin x (1ㄧcos x)/cos x～(x^³⁾/2，他比 x^² 小的多，完全不在一个“数量级”，这里所说的“数量级”其实就是 x 的次数，tan xㄧsin x 相当于 x ^3，他远远小于 x^² 。瞧，这就是阶的比较。

其中 R_n(x)是余项，可以有两种形式，一种称为拉格朗日余项，即

适用于展开式的误差估计，以及其他更加精细的操作，其中 ξ 介于 x 和 x₀ 之间。另一种称为皮亚诺余项，即

表示展开式带有这么一个误差项，大致和 (xㄧx₀)^ⁿ 等价的一个无穷小。

在处理极限问题是我们更多用的是 x₀＝0 时的泰勒公式，也称为麦克劳林公式：

例如，sin x 和 tan x 的展开式为：

泰勒公式在求函数极限时有很高的效率，原因在于应用泰勒公式可以方便地求出函数的主项，如 sin x 和 tan x 的主项都是 x，而 tan xㄧsin x 的主项为 (x^³⁾/2，这是因为 tan xㄧsin x 的泰勒公展式为：

同理 sin xㄧx 的主项为 ㄧ(x^³⁾/6， sin xㄧx (x^³⁾/6主项为 (x^⁵⁾/120。

温馨提示： 应用泰勒公式可以方便地求出函数的主项。

许多复杂的函数极限问题，应用泰勒公式都可以完美解决。

本例来源于吉米多维奇习题集第1407号问题：

求 tan(sin x)ㄧsin(tan x) 的主项。

因此有下列极限

高数大厦起极限 阶的比较破万难 敢问阶路在何方 泰勒公式若等闲

玩不转泰勒公式，请不要说“高数我能行”

玩不转泰勒公式，请不要说“我是数学人”