已知xy求x+y最值（已知4x1）

已知4/x 1/y=1,求x 7y的最大值

主要内容：

通过替换、柯西不等式、二次方程判别式及多元函数最值法等，介绍x 7y在条件4/x 1/y=1下最大值的计算步骤。

主要公式：

1.均值不等式：正实数a,b满足a b≥2√ab。

2.柯西不等式：对于四个正实数x,y,b,c,有以下不等式成立，即：(x y)(b c)≥(√xb √yc)^2，等号条件为：cx=by。

方法一：“1”的代换

x 7y

=(x 7y)*1

=(x 7y)(4/x 1/y)

=4 7 x/y 28y/x

利用均值不等式，则有：

x y≥4 7 2√28。

所以：x 7y的最大值=11 4√7。

方法二：柯西不等式法

∵(4/x 1/y)(x 7y)≥(√4 √7)^2

∴x 7y≥(√4 √7)^2

即：

x 7y的最大值=11 4√7。

方法三：二次方程判别式法

设x 7y=t,则y=1/7*(t-x),代入已知条件得：

4/x 7/(t-x)=1,

4(t-1x) 7x=x(t-1x)

x^2 (7-t-4)x 4t=0,

方程有解，则判别式为非负数，即：

△=(7-t-4)^2-4*4t≥0，

化简得：

(t-11)^2≥4*28。

要求t的最大值，则对不等式两边开方有：

t-11≥2√28,

t≥11 2√28，

即tmax=11 4√7。