换元法的最值问题(利用减元法解决多变量的最值问题)

昨天我们留下一道题,让大家解决,不知大家有没有做出来,今天我们来讲解怎么通过换元减元法解决这个问题。

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例:

换元法的最值问题(利用减元法解决多变量的最值问题)(1)

解析:进行移项,把含未知数的放在一边,变量放在另一边,

换元法的最值问题(利用减元法解决多变量的最值问题)(2)

因为是恒成立,所以m小于等于右边的最小值。右边含有sin,cos两个未知数,都在变化,很难求出最值。

观察在三角函数中,1常常可以换元替换

换元法的最值问题(利用减元法解决多变量的最值问题)(3)

所以:

换元法的最值问题(利用减元法解决多变量的最值问题)(4)

此时发现刚好可以构造完全平方得:

换元法的最值问题(利用减元法解决多变量的最值问题)(5)

此时表面看有两个未知数,但是把sin cos看成一个整体进行换元,,就只剩一个未知数了。

换元法的最值问题(利用减元法解决多变量的最值问题)(6)

换元法的最值问题(利用减元法解决多变量的最值问题)(7)

运用辅助角公式合并:

换元法的最值问题(利用减元法解决多变量的最值问题)(8)

右边为二次函数,开口向上,对称轴为-1/2,研究范围在对称轴右边,所以在研究范围内单调递增,所以当t=1时,函数值最小,所以m小于等于2。

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总结:此题中的sincos,sin cos若不加以处理,难以将变量统一成一个未知数。观测点 到sincos可以有sin cos的平方得到,1可以等于sin的平方 cos的平方,因此我们想到换元减元。

前天一篇 利用减元法解决多变量的最值问题—代入减元;昨天一篇

利用减元法解决多变量的最值问题—等量减元;加上今天这篇,都是在讲减元的,减元,是解决最值问题的一把利器。

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视频讲解

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