射影定理解题方法 借助射影定理更能事半功倍

借助射影定理，更能事半功倍

我们在学习相似三角形时，对于直角三角形中，存在一条斜边上的高，通常情况下会有三对相似的直角三角形，而它们之间的特殊比例关系，被归纳为一条十分有用的定理——射影定理。因此，一旦题目图形中出现直角三角形及其斜边上的高，那么射影定理基本上会给解题过程带来极大方便。

题目

如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6√3，BD=3.

(1)求cosA的值；

(2)求tanB的值.

解析：

直角三角形，斜边上的高，请迅速联想到射影定理相关内容，牢记两句话，直角边的平方等于它的射影乘以斜边；斜边上高的平方等于两直角边射影的乘积.题目条件中，我们知道AC和BD，它们分别是一条直角边和另一条直角边的射影，似乎无法直接使用射影定理。但是，定理结论中AC²=AD×AB或者CD²=AD×BD是可以派上用场的，但无论用哪一个，都需要设AD=x，下面分别就两个等式给出对应解答：

AC²=AD×AB，于是108=x(x 3)，整理为x² 3x-108=0，解得两根分别为9和-12，显然AD=9，于是cosA=√3/2，tanB=√3；

CD²=AD×BD，于是CD²=3x，在Rt△ACD中利用勾股定理列方程，同样可得108=x² 3x，解得两根为9和-12，后续过程同上.

解题反思：

本题属于较为简单的三角函数的应用，本题难点仅存在于构造出方程来求解AD的长，而射影定理的使用则使整个过程显得更简洁。因此，在解直角三角形类型的问题时，遇到直角三角形及其斜边上的高，多半便是射影定理大展身手的地方。