数形结合思想在数学解题中的应用（聊聊数学教材中的数形结合思想）

数学家华罗庚曾经说过，数缺形时少直觉，形少数时难入微，这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及实用结合的重要性。

数形结合思想，就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。

它包括两方面，一种是用代数方法解决几何问题。

优势是可以用计算代替证明，从而极大的减小工作量。

比如中学所学习的解析几何，通过建立平面直角坐标系将点与有序实数对（a,b）之间建立起对应关系，进而将几何图形用方程表示，这就是将几何问题代数化。

一种是用几何直观帮助解决代数问题。

比如我们在中学学习函数知识、解决函数问题的时候，往往要结合函数的图像来辅助理解，这就是用几何直观来帮助解决代数问题。

不仅如此，比如在概率统计中，也会涉及到大量的图表，未尝不是数形结合的另类应用。

可以说，数形结合思想是中学数学学习中非常重要的一种思想方法，在高中数学大量题目的解决都需要利用数形结合思想。

数学思想并不仅仅存在于中学，数形结合思想在小学数学的学习中都有非常普遍和广泛的应用。

一是利用图形的直观帮助学生理解和掌握知识、解决问题，比如线段图；

二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透，如数轴、位置、正反比例关系图等，使学生体会代数与几何之间的联系；

三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现；

四是用代数方法解决几何问题如角度、周长、面积和体积的计算。

在此我们可以举几个实例。

（本文中部分图片来自于之前文章，那时候使用的还是人教版小学数学教材老版本，所以问题插图还没换掉，因为时间紧张来不及，难免有些仍是老版插图，特此说明，抱歉）

比如在人教版小学数学教材二年级上册第二节的100以内加法中，使用算筹来展示加法规则，更加直观。

再比如在人教版小学数学教材三年级上册第5单元倍的认识中，出现了线段图。

线段图是小学数学中数形结合思想的一个重要体现，

线段图能够直观的体现出数量关系，所以是典型的以形助数。

这里不但要能够将数量关系用线段图表示，也要能够根据线段图辨识数量关系。

本册中第七单元长方形和正方形，开始接触周长，也就是开始用数量来描述几何图形特征。

这就是所谓的以数解形。

这一册数形结合的核心体现，主要是在最后两个单元——分数的初步认识和集合。

分数相对于孩子们之前学习的自然数，比较抽象，教材中通过使用大量的几何图形——饼状图、线段图等直观手段，以形助数，解决了学生们的理解分数概念、比较分数大小、分数加减法计算等问题。

之后的分数问题，比如通分，比如比较分母不一样的分数大小，也可以用类似的方法。

在小学五年级上册数学教材中，引入了坐标的初步思想。

直接将点和有序实数对对应起来。

这是典型的，也是最基本的几何图形代数化。

虽然孩子年龄的逐步增长，小学高年级数学教材中的数形结合思想体现的也越来越明显，涉及到的内容也越来越深入。

比如六年级上册第八单元数学广角——数与形，算是专门为数形结合所设，可见在数学教材编写者心目中数形结合思想的重要性。

比如通过图形解决一些数列求和问题。

下面这道题不光是数形结合，还涉及到了极限，通过数形结合的展示也能很好的理解。

甚至有些习题已经涉及到了函数图像。

再比如利用数形结合进行完全平方的推导。

这些内容不能单单的讲讲看看就作罢，而是应该作为一种思想方式重点讲解，帮助孩子体会数形结合的重要性。

在六年级下册第四单元比例中，用图像来描述比例关系，再引导学生利用图像解题，这是典型的数形结合，也是初高中常用的方法。

类似的题目在本单元的你知道吗里也有所体现，出现了反比例函数的图像，引导学生体会反比例图像可以用来表达数量关系，也可以用来解题。

到此我们会发现，小学数学课本虽然被很多人所诟病，但的确将一些我们常用的数学思想融入了教材之中，编写者还是有些巧思在其中的。

小学都这样了，那么初中又是如何呢？

我们仍然以人教版初中数学教材为例。

在七年级第一册伊始，就出现了数轴。

可以说数轴是数形结合的好工具，平面直角坐标系也无非是两个数轴。

在此数轴的作用主要是将代数问题几何化，也就还属于以形助数的范畴。

之后在学习绝对值的时候，也是从绝对值的几何含义入手。

但是在这一部分相关的题目中，除了与课本思路一致的题目。

还有一些题目呈现出典型的几何问题代数化的倾向，比如在新思维中，有这种题型。

其实就是典型的把一个行程问题转化为数轴上的问题，进而转化成代数计算问题。

在七年级下册，有一章专门贯穿数形结合思想的内容——平面直角坐标系，典型的代数方法研究几何问题。

比如将点的平移用坐标变化来表示。

从内容上讲，其实并不深入，只不过是小学五年级数学课本内容的引申。

一旦结合到习题，则难度就不一样了。

不过其基本思路还是几何问题代数化，点的运动转化为坐标的变化。

整体上看，七年级上下册、八年级上册中数形结合的内容体现的很少，要么是纯代数内容，要么是纯平面几何内容。

一直到八年级下册一次函数，数形结合思想才算是登堂入室，大放异彩，可以说数形结合是中学阶段研究函数问题的最大法宝。

在函数的概念一节，就引入了函数图像。

在此我们要理清楚一个概念：函数图像其实就是函数表示方法的一种，其地位和解析式是一样的，正因为如此，函数图像的特征与解析式的特征存在着对应的关系。

这是函数中运用数形结合思想的理论基础——我们可以通过将函数解析式对应的图像画出来，通过观察、研究图像的特征，进而得到函数的性质，也可以将抽象的函数问题转化为具体的图像，辅助寻找思路、解决问题。

比如下图中，将一次函数的图像绘制出之后，会发现图像是从左向右上升的，而因为图像是由无数点构成，点的坐标对应着x与y，所以图像的上升特征一定对应着x与y中的某种关系——随着x的增大，y在增大。

这在高中函数中其实叫单调性，是函数的重要性质，不仅仅是单调性，高中函数的众多性质都可以结合图像来理解。

可以很明确的说，初中函数教材的编写者非常强调数形结合。

几乎是道题目就要画图像。

这么说吧，起码人教版初中数学教材中的函数部分内容和高中函数在思路上没有什么差别。

这让我很疑惑，为什么到了高中很多孩子依然没有主动使用数形结合解决问题的意识，看到问题不知道从图像入手？

这到底是为什么？

仔细琢磨了半天，会不会是因为初中数学问题里，虽然函数在数学试卷中虽然经常出现，也都带有图像，而且比较偏几何。

这些问题，其实对于函数本身的考察并不多，更多的是以函数图像为背景，把几何图形放在函数图像上，本质还是几何问题，类似于解析几何。

感觉初中数学中纯粹考察函数本身的问题不够多。

所以学生并没有意识到，即使是不那么几何的函数问题，也可以用图像来辅助解题？

这只是我的猜想吧，那高中数学中利用数形结合解决函数问题到底是个什么样呢？

我们来看看高中数学吧。

数形结合在高中数学中的第一次出场就是集合关系中使用了韦恩图。

其实利用数轴表示集合运算也是一种数形结合的体现。

在不等式的证明中，使用了几何方法——弦图，在基本不等式的证明中，使用了圆的相关知识，这是一个非常有趣的数形结合的应用。

但这些内容只是开胃菜，我们来看一看函数中对数形结合的应用。

这是函数单调性引入部分，我们可以很容易看到教材的处理思路：绘制函数图像，将函数直观化——观察图像、找到特征——将特征代数化。

这是典型的数形结合思路。

比如我们看下面这道题目。

第（1）问的意思是一元二次方程无负根，求m的取值范围。

方法有很多，但是我们用二次函数图像解决起来会比较容易，抛开空集的情况，抛开与x轴相切的情况，我们直接画图。

显然这个二次函数对称轴固定不变：x=1，此时函数图像必然与x轴右侧有交点，也就是说二次方程必然有一个正根，只需要左侧交点不在原点左侧就好了。

观察到此时图像与y轴交点需在x轴之上，所以常数项2m 4大于等于0即可。

数形结合的好处在于，我们可以根据题意将图像画出来，然后观察图像所具有的特征，此时观察图像找特征显然比你凭空想象要方便，找到特征之后，再把该特征代数化——列不等式或方程，即可。

当然不仅仅是函数与方程，很多问题都可以使用数形结合思路，比如下面这道题目。

这是一道充要条件中的题目，与不等式相关。

我们如何数形结合呢？

比如我可以把满足两个条件的x，y看成是坐标，那么对应的就是平面中的点，所有满足条件的x，y对应的就应该是点构成的平面区域。

将这个问题转化为平面区域之间的关系。

再比如二次方程根的分布问题，是典型的数形结合，可以转化为二次函数图像与x轴交点问题来解决，这已经可以说是固定套路，甚至总结出若干种固定情况了。

以上这些呢，基本上算是以形助数，那么以数补形体现在哪里呢？

当然是两个几何——解析几何与立体几何。

解析几何的基本思路就是将图形放在坐标系中，将图形用方程表示，通过研究方程来研究图形。

怎么样？

看起来是不是特别眼熟，是不是和初中一些题目有些类似，当然还是有所区别。

至于立体几何，则是在引入空间向量之后，基本上把原来的综合证明全部转化为代数计算了！

这是典型的以数补形思路。

相较于之前所说的数形结合在函数等方面的应用是战术性的，那么解析几何与空间向量，则是战略性的、思想性的大格局。

直接将几何问题转化为代数问题，而不是用代数来辅助。

尤其是立体几何用空间向量之后，可以说使得学生摆脱了原来千回百转的几何证明，直达本质。

虽然这让我的老手艺无从施展，但客观的讲是大势所趋。

新的思路需要新的工具支持，这个工具就是——向量。

向量因为其兼顾了大小与方向，兼具了代数性与几何性，导致它是天生的打通数形之间的工具，在早些年刚刚进入高中数学教材时，题目难度较低，但是在经过一段时间的研究，向量的题目开始逐渐有特点起来，难度也逐步提升，属于是很有潜力的命题点。

本身也是数形结合思想的一种体现。

通过本文大家可以发现，数形结合思想可以说贯穿了小初高数学学习的始终，越往上越是重要，它即使一种解题的方法、思路，又是一种思想、策略，通过将数与形互相补充、互相印证，一方面诞生了不少新的知识，另一方面也提供了一种思考问题、解决问题的渠道。

对于数形结合思想的培养，应该纳入到我们家长的视野中去。

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