人教版数学必修二平面向量的概念（平面向量的概念）

第6.1讲 平面向量的概念

教材知识链接

1．向量的定义及表示

(1)定义：既有大小，又有方向的量称为向量．

(2)表示

2．零向量和单位向量

(1)始点和终点相同的向量称为零向量，零向量在印刷时，通常用加粗的阿拉伯数字零表示，即0；书写时，通常用带箭头的阿拉伯数字零表示，即0→，零向量的模为0，即|0|＝0.零向量本质上是一个点，因此可以认为零向量的方向是不确定的．

(2)模等于1的向量称为单位向量．e是单位向量的充要条件是|e|＝1．

3．相等向量：把大小相等，方向相同的向量称为相等的向量，记作a＝b.

4．向量平行或向量共线：

如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行．因为零向量的方向不确定，因此通常规定零向量与任意向量平行．两个向量a和b平行，记作a∥b，两个向量平行也称为两个向量共线．

知识点一、向量的有关概念

【典例1-1】　给出下列六个命题：

①若两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同；

②若|a|＝|b|，则a＝b；

③若＝，则四边形ABCD是平行四边形；

④在平行四边形ABCD中，一定有＝；

⑤m＝n，n＝k，则m＝k；

⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.

其中不正确的命题的个数为(　　)

A．2　　　 B．3　　　　

C．4　　　 D．5

【解析】　两个向量始点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有始点相同、终点相同，故①不正确．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确．③也不正确，因为A，B，C，D可能落在同一条直线上．零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b＝0，则a与c就不一定平行了．因此⑥也不正确．

答案：C

对向量的有关概念的理解要全面、准确，要注意相等向量与共线向量(或平行向量)之间的区别和联系；零向量的长度为零，方向不确定，解题时一定要注意这一特殊向量．

【跟踪训练1-1】1．(多选)下列说法错误的是(　　)

A．有向线段与表示同一向量

B．两个有公共终点的向量是平行向量

C．零向量与单位向量是平行向量

D．单位向量都相等

解析：向量与方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故A，B，D错误．零向量与任何向量都是平行向量，故C正确．

答案：ABD

知识点而、向量的几何表示

【典例2-1】　(1)如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有定点A，点C为小正方形的顶点，且||＝，画出所有的向量.

(2)已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东

30°的方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．

①作出向量，，，；

②问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？

【审题指导】　(1)先确定起点A，然后确定方向，依据模为确定向量的终点C.

(2)求向量的方向问题时，可根据直角三角形知识求解．

【素养立意】　本题考查向量的几何表示及应用，突出考查直观想象核心素养．

【解析】　(1)画出所有的向量，如图所示．

(2)①由题意，作出向量，，，，如图所示．

②依题意知，三角形ABC为正角形，所以AC＝2000 km，又因为∠ACD＝45°，CD＝1000，所以△ACD为等腰直角三角形，即AD＝1000 km，∠CAD＝45°，所以D地在A地的东南方向，距A地1000 km.

用有向线段表示向量的方法

(1)用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．

(2)必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．

【跟踪训练2-1】．一辆汽车从点A出发，向西行驶了100公里到达点B，然后改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C，最后又改变了方向，向东行驶了100公里达到点D.

(1)作出向量，，；

(2)求||.

解：(1)如图所示．

(2)由题意知与方向相反，所以与共线，所以在四边形ABCD中，AB∥CD，又因为||＝||，

所以四边形ABCD为平行四边形，

所以||＝||＝200(公里)．

　向量相等与向量共线(变通探究)

【典例3-1】　(课本例1，例2拓展)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形．

(1)找出与向量相等的向量；

(2)找出与向量共线的向量．

【解析】　(1)由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知，与的长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和.

(2)由图可得：，，与方向相同，，，，与方向相反，所以与向量共线的向量有，，，，，，.

【变式探究】　在本例中，找出与向量的模相等的向量．

答案：，，，，

向量相等与向量共线的探求方法

(1)寻找向量相等：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．

(2)寻找向量共线：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

【跟踪训练3-1】.如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．

(1)写出与共线的向量；

(2)写出与的模的大小相等的向量；

(3)写出与相等的向量．

解：(1)因为E、F分别是AC、AB的中点，

所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，

所以与共线的向量有，，，，，，.

(2)与模相等的向量有，，，，.

(3)与相等的向量有与.

评论、关注、私信发送【201961】领取 平面向量的概念（解析版）高一数学链接教材精准变式练Word版，可直接使用

资料预览图

,