自然常数的对数（自然常数e又叫欧拉数）

数学中有许多重要的常数，例如圆周率π和虚数单位i（等于根号负一）。但数学中还有一个同样重要的常数，那就是自然常数e，尽管没有圆周率那么为人所熟知。

这个常数经常出现在数学和物理学之中，但它从哪里来？它究竟是什么意思？

在18世纪初，数学大师莱昂哈德?欧拉（Leonard Euler）发现了这个自然常数e（又称欧拉数）。

当时，欧拉试图解决由另一位数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在半个世纪前提出的问题。

伯努利的问题与复利有关。假设你在银行里存了一笔钱，银行每年以100%的利率兑换这笔钱。一年后，你会得到（1 100%）^1=2倍的收益。

现在假设银行每六个月结算一次利息，但只能提供利率的一半，即50%。在这种情况下，一年后的收益为（1 50%）^2=2.25倍。

而假设银行每月提供8.3%（100%的1/12）复利息，或每周1.9%（100%的1/52）复利息。在这种情况下，一年后你会赚取投资的（1 1/12）^12 = 2.61倍和（1 1/52）^52 = 2.69倍。

根据这个规律，可以得到一条通式。如果假设n为利息复利的次数，那么利率就是其倒数1/n。一年后的收益公式为（1 1/n）^n。例如，如果利息每年复利5次，那收益则为初始投资的（1 1/5）^5 = 2.49倍。

那么，如果n变得很大，会怎样？如果n变得无限大，那（1 1/n）^n是否也会变得无限大？这就是伯努利试图回答的问题，但直到50年后才由欧拉最终获得结果。

原来，当n趋于无穷大时，（1 1/n）^n并非也变得无穷大，而是等于2.718281828459……这是一个类似于圆周率的无限不循环小数（即无理数），用字母e表示，被称为自然常数。

当然，e不是一个随意数字。事实上，它是数学中最有用的常数之一。如果绘制方程y = e^x，就会发现，对于曲线上任何点的斜率也是e^x，而从负无穷大到x的曲线下方面积也是e^x。e是唯一使y = n^x这个方程有如此奇特性质的数字。

在微积分中，可以想象e也是一个非常重要的数字。同时，自然常数e也是物理学中的一个重要数字，它通常出现在有关波（如光波、声波和量子波）的方程之中。

此外，关于e还有一个非常著名的公式，即欧拉恒等式：e^(iπ) 1 = 0，这个完美的公式把数学中最重要的数字e、π、i、1、0都联系在一起了。因此，这个公式也被称为上帝公式。

关于lim(1 1/n）^n极限存在性的推导，可以看我的视频。