如何求双曲线离心率的取值范围（求离心率取值范围的两种三角形模型推导及结论应用）

为什么说是求三角形模型的离心率呢？分为两种情况，都呈三角形形状：（1）以椭圆的两焦点F1、F2和椭圆上的一点P为顶点的三角形，已知∠F1PF2=α；（2）以椭圆两端点A、B和椭圆上的一点P为顶点的三角形，已知∠APB=α。求此两种情况下的椭圆离心率取值范围。

高中数学

一、公式模型

模型1、椭圆的两个焦点分别为F1和F2，P为椭圆上一点，若有∠F1PF2=α,则离心率的取值范围是[sin(α/2),1)。

证明：当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2逐渐增大。当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值。

由此可得：∵P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=α

∴在△F1P0F2中，∠F1P0F2≥α

模型2、椭圆的长轴两端点分别是A和B，P为椭圆上一点，若满足∠APB=α,则离心率的取值范围

证明：当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个椭圆两个端点的张角∠APM逐渐增大。当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠APM达到最大值。

由此可得：∵P为椭圆上一点，使得∠APM=α

∴在△APM中，∠AP0M≥α

二、例题解析：

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