定积分的原函数问题（不定积分原函数）

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今天我们要讲的是不定积分的求解方法，希望大家能够认真学习。

一、换元法

1.第一类换元法： 形如∫g(x)dx=∫f［z(x)］z′(x)dx=［∫f(u)du］ 其中u=z(x)

例题

2.第二类换元法(需要令t)

（一）、根号内只有一次项和常数项的二次根式

方法：将根号整体换元来脱根号

例题：

（二）、根号内只有二次项和常数项的二次根式 (a为常数项) 方法：

4.如被积函数中含有 √x²±a²还可试令x=sh t或x=ch t 其中（∫sh xdx=ch x＋C ∫ch xdx=sh x＋C）

例题①

②

③

④

（三）、根式内为一般二次多项式的二次根式。

方法：将根式内配方化为根号内只有二次项和常数项。

例题：

（四）、以下两种情况：

例题⑤

例题⑥

（五）、如果被积函数为商形式，且分子次数比分母小，可试用倒代换，令x=1/t

例题：

二、分部积分法

分部积分公式：∫udv=uv－∫vdu

使用分部积分法的常见类型：

(1)∫ 幂x指数dx 选 指数dx=dv

(2)∫ 幂x对数dx 选 幂dx=dv

(3)∫ 幂x三角函数dx 选 三角函数dx=dv

（如果sinx cosx遇到二次,半角公式化为一次。如果遇到三次，则先凑微分再用分部积分。secx tanx cotx cscx必须偶次）

（4）∫ 幂x反三角函数dx 选 幂dx=dv

(5)∫ 指数x三角函数dx (根据情况而定)

(6)∫secⁿxdx和∫cscⁿxdx(n为偶次时不需要用分部积分法)

综上选择谁U谁V，看谁求导简单，谁求导简单就取为U，反之为V。例如多项式x和三角函数cosx相乘，很明显对于多项式x更容易求导，因此我们选择多项式x做为U。

三、有理函数的不定积分

本方法来自华东师范大学数学系编《数学分析·上册》（第三版），190页.

看几个例题(知识有限，具体方法下次总结)

四、三角函数中的积分技巧

1.在计算∫sin²ⁿ⁺¹xdx或∫cos²ⁿ⁺¹xdx时，一般将积分∫sin²ⁿ⁺¹xdx化成－∫(1-cos²)ⁿd(cosx)，将积分∫cos²ⁿ⁺¹xdx化成∫(1-sin²)ⁿd(sinx)来进行计算。

2.在计算积分∫sin²ⁿxdx或∫cos²ⁿxdx时，一般利用倍角公式进行降幂计算。

3.在计算积分∫sin(ax)cos(Bx)dx，∫sin(ax)sin(Bx)dx，∫cos(ax)cos(Bx)dx时，一般利用积化和差公式对被积函数进行变形后再计算。

4.形如∫R(sinx，cosx)dx时，一般用万能代换法，令t=tanx/2。

例题

5.若有R(cosx，sinx)dx=R(－cosx，－sinx)dx，可令t=tanx；

若有R(－sinx，cosx)dx=－R(－sinx，cosx)dx，可令cosx=t；

若有R(sinx，－cosx)dx=－R(sinx，cosx)dx，可令sinx=t。

例题

另外还可以利用积分表来快速的求出一些原函数。

• 哲学上说矛盾是具有普遍性的，因此我们要具体问题具体分析。求解不定积分的方法并不是拘泥于以上几种，我们做题时应该从题目本身的条件出发，采取灵活多变的解题方法。

参考文献（Rreference）：

·［1］华东师范大学数学系.数学分析（上册）［M］.北京：高等教育出版社，2001.6

·［2］吉米多维奇等.数学分析习题集［M］.北京：高等教育出版社，2010.7

·［3］同济大学数学系.高等数学（上册）［M］.北京：高等教育出版社，2014.7

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