高中数学函数（函数及其表示）

考纲原文

（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.

（3）了解简单的分段函数，并能简单应用.

知识点

一、函数的概念

1．函数与映射的相关概念

(1)函数与映射的概念

注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．

(2)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(3)构成函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

(4)函数的表示方法

函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.

解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

图象法：注意定义域对图象的影响.

2．必记结论

(1)相等函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．

①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．

②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.

(2)映射的个数

二、函数的三要素

1．函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

2．函数的解析式

(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.

(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.

3．函数的值域

函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：

(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.

(4)y＝sinx的值域为[−1,1]．

三、分段函数

1．分段函数的概念

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

2．必记结论

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．

考试方向

考向一 求函数的定义域

在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现，难度不大.

1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略

(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．

(2)抽象函数：

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．

2．求函数定义域的注意点

(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．

(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．

(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.

【名师点睛】

1.根据“若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域”来解相应的不等式或不等式组即可顺利解决.

2.求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

考向二 求函数的值域

求函数值域的基本方法

1．观察法：

通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．

2．利用常见函数的值域：

一次函数的值域为R;反比例函数的值域为{y|y≠0}；指数函数的值域为（0， ∞）；对数函数的值域为R；正、余弦函数的值域为 [-1,1] ；正切函数的值域为R .

5．配方法：

对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．

6．数形结合法：

作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．

7．单调性法：

函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．

8．基本不等式法：

9．判别式法：

10．有界性法：

充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.

11．导数法：

利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.

考向三 求函数的解析式

求函数解析式常用的方法

1．换元法：

已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

2．配凑法：

由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；

3．待定系数法：

若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

4．方程组法：

考向四 分段函数

分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：

1．求函数值：

弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．

2．求函数最值：

分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．

3．求参数：

“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．

4．解不等式：

根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．

5．求奇偶性、周期性：

利用奇函数(偶函数)的定义判断，而周期性则由周期性的定义求解.

【名师点睛】（1）分段函数的单调性，应考虑各段的单调性，且要注意分解点出的函数值的大小；

（2）抽象函数不等式，应根据函数的单调性去掉“ f”，转化成解不等式，要注意函数定义域的运用.

,