高中数学函数(函数及其表示)

考纲原文

(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.

(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.

(3)了解简单的分段函数,并能简单应用.

知识点

一、函数的概念

1.函数与映射的相关概念

(1)函数与映射的概念

高中数学函数(函数及其表示)(1)

注意:判断一个对应关系是否是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点.

(2)函数的定义域、值域

在函数yf(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域.

(3)构成函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

(4)函数的表示方法

函数的表示方法有三种:解析法、列表法、图象法.

解析法:一般情况下,必须注明函数的定义域;

列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征;

图象法:注意定义域对图象的影响.

2.必记结论

(1)相等函数

如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数相等.

①两个函数是否是相等函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时,才表示相等函数.

②函数的自变量习惯上用x表示,但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x−1,g(t)=2t−1,h(m)=2m−1均表示相等函数.

(2)映射的个数

高中数学函数(函数及其表示)(2)

二、函数的三要素

1.函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围,常见基本初等函数定义域的要求为:

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

高中数学函数(函数及其表示)(3)

2.函数的解析式

(1)函数的解析式是表示函数的一种方式,对于不是yf(x)的形式,可根据题目的条件转化为该形式.

(2)求函数的解析式时,一定要注意函数定义域的变化,特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式,不注明定义域往往导致错误.

3.函数的值域

函数的值域就是函数值构成的集合,熟练掌握以下四种常见初等函数的值域:

(1)一次函数ykxb(k为常数且k≠0)的值域为R.

高中数学函数(函数及其表示)(4)

(4)y=sinx的值域为[−1,1].

三、分段函数

1.分段函数的概念

若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,则这种函数称为分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.

2.必记结论

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集.

考试方向

考向一 求函数的定义域

在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现,难度不大.

1.求函数定义域的三种常考类型及求解策略

(1)已知函数的解析式:构建使解析式有意义的不等式(组)求解.

(2)抽象函数:

①若已知函数f(x)的定义域为[ab],则复合函数f(g(x))的定义域由ag(x)≤b求出.

②若已知函数f(g(x))的定义域为[ab],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[ab]时的值域.

(3)实际问题:既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求.

2.求函数定义域的注意点

(1)不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化.

(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集.

(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.

【名师点睛】

1.根据“若已知函数f(x)的定义域为[ab],则复合函数f(g(x))的定义域由ag(x)≤b求出.若已知函数f(g(x))的定义域为[ab],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[ab]时的值域”来解相应的不等式或不等式组即可顺利解决.

2.求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可.

考向二 求函数的值域

求函数值域的基本方法

1.观察法:

通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域.

2.利用常见函数的值域:

一次函数的值域为R;反比例函数的值域为{y|y≠0};指数函数的值域为(0, ∞);对数函数的值域为R;正、余弦函数的值域为 [-1,1] ;正切函数的值域为R .

高中数学函数(函数及其表示)(5)

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5.配方法:

对二次函数型的解析式可以先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,利用求二次函数的值域的方法求函数的值域.

6.数形结合法:

作出函数图象,找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义,在图上找出值域.

7.单调性法:

函数单调性的变化是求最值和值域的依据,根据函数的单调区间判断其单调性,进而求函数的最值和值域.

8.基本不等式法:

高中数学函数(函数及其表示)(7)

9.判别式法:

高中数学函数(函数及其表示)(8)

10.有界性法:

充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性,求出值域.

11.导数法:

利用导数求函数值域时,一种是利用导数判断函数单调性,进而根据单调性求值域;另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.

考向三 求函数的解析式

求函数解析式常用的方法

1.换元法:

已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;

2.配凑法:

由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式;

3.待定系数法:

若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法;

4.方程组法:

高中数学函数(函数及其表示)(9)

考向四 分段函数

分段函数是一类重要的函数,常作为考查函数知识的最佳载体,以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题,难度一般不大,多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略:

1.求函数值:

弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,求“层层套”的函数值,要从最内层逐层往外计算.

2.求函数最值:

分别求出每个区间上的最值,然后比较大小.

3.求参数:

“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程或不等式.

4.解不等式:

根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求解,但要注意取值范围的大前提.

5.求奇偶性、周期性:

利用奇函数(偶函数)的定义判断,而周期性则由周期性的定义求解.

【名师点睛】(1)分段函数的单调性,应考虑各段的单调性,且要注意分解点出的函数值的大小;

(2)抽象函数不等式,应根据函数的单调性去掉“ f”,转化成解不等式,要注意函数定义域的运用.

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