经典几何题解题思考（一道看似简单的几何题却不太好做）

这是在百度上看到的几何题。本以为比较简单，做起来却花了一番功夫。题目如下。

几何题

首先审题：顶角135°表明外角是45°，延长AC到E，使BE⊥AE，则三角形BCE是等腰直角三角形，利用勾股定理和相似三角形相似比可以列出方程算出CD。

作辅助线

设CE=BE=x，AC=y。CD²=y²-10²。

由勾股定理得：BC²=CD² BD²=x² x²，即

y²-10² 3²=2x²，2x²=y²-91。①

在对△ABE用勾股定理得：

(x² y²) x²=13²=169，

2x² y² 2xy=169。②

①代入②得：2y² 2xy=260，

y² xy=130，x=(130-y²)/y。③

③式也可以用相似比得到。

③代入①得：2(130-y²)²/y²=y²-91，化简得

y⁴-429y² 33800=0，解得y²=104。

CD²=y²-10²=104-100=4，CD=2。

这个方程数据比较大，计算要花点时间。

高中生用三角函数可以很快算出。

设∠CBA=α，则∠A=45°-α。

3tanα=10tan(45°-α)

=10(1-tanα)/(1 tanα)，

3tan²α 13tanα-10=0，

解得tanα=2/3。

CD=BDtanα=3×2/3=2。

再来看老师的解答。

老师的解答先用带x的式子表示BC，再把CD用带x的式子表示，AH也用带x的式子表示，然后用相似比求出x，进而求出CD。很好的解法，比我的解法要简单很多。

老师的解答

总结一下：这道几何题有点难度，主要考察学生是否能够根据已知条件作出合适的辅助线，以及用勾股定理和相似三角形相似比解题的能力。

这里是轻松简单学数学，分析各种解法，学习数学知识。

后续：网友们在评论区提供了很好的解法，初中学生可以去学习一下，拓宽自己的解题思路。