角平分线判定及性质（角平分线性质中的一些演变思路）

有部分答案（初中学生，学习中的数学问题，我们可以在评论区留言，有时间我会回复的。

两个目的：

一是希望对开始数学不理想，现在想学的好数学的学生提供一个帮助

一是发发文章

此讲义适合有一些基础的学生（初中鲁教版七上），指的是对定义类题型做着还可以但对不行理解不好的的学生准备的。（望大家看清楚后再做决定）

需要什么样的讲义可以将学生的特点发给我，我可以针对性的做一个出来内容暂定初中数学。

一、知识梳理：

角平分线的特点（分两角相等），只是给三角形全等增加了一个条件，用多了就有了很多的特殊情况总结一下就成了性质

角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

对于角平分线在等腰三角形中的应用其实和角平分线的应用是一样的道理。

二．考点分类

考点一：角平分线的上边的关系可以自己总结下，都是捎带手的事（做下边习题的时候）

点到直线距离演变：（注：将直线看成由无数个点经过特定排列组成的集合体，那么对于特定点与这个集合上所有的连线）

1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（　　）

A．1.5 B．2 C．3 D．4

（理解方法，从点到距离所有可能的中的规律出发，增加规律性探索，并延伸知识）

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD=2CD，BC=9cm，则点D到AB的距离为（　　）

A．3cm B．2cm C．1cm D．4.5cm

（两种做法一种为角平分线的性质，一种为构建三角形全等，建议用的二种方法。一切的思考和知识点都是从实践中总结出来的）

3．如用，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=24，DE=4，AB=5，则AC的长是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

（面积公式，要写出面积算法公式熟练之后就可以不用写了，但是对；面积题感到困难的几乎都是面积公式运用有问题，任何问题都要从最基本公式除法。此题为将三角形面积分成两部分计算，再利用角平分线性质）

4．如图，BD平分∠ABC，BC⊥DE于点E，AB=7，DE=4，则S△ABD=（　　）

A．28 B．21 C．14 D．7

（易错选项为A面积公式要熟悉，利用已有条件解决问题和生活中的问题解决方法没什么区别）

5．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=6cm，则PD的长可以是（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．7 cm

(对点到直线距离演变的复习，因为这写成对出现的线中只有垂线是单独出现的也是最短的。)

6．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．

（思路推荐：符合角平分线定义的线都可以看做角平分线，所有此题∠ADC与角∠ABC公用一个角平分线可利用三角形全等连接）

【由距离相等而演变的性质运用】：

7、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．

（思路推荐：角平分线的性质到这就不需要证明了，可以直接用OD=OE了，证明三角形全等就行了，简单的为△BOD与△COE（AAS），另一种为△AOC与△AOB）

8．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．

（思路推荐：将三角形面积分成两部分计算，记得熟悉面积公式，面积公式不熟，会了这道题也没用，重点不在这道题，在面积公式的理解。利用角平分线性质DE=DF可求DE=3.5建议用分数。有条件复习一下等腰三角形三线合一的性质。）

9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF．

（1）求证：CF=EB；

（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．

（思路推荐：利用点到直线的距离演变出发更能看清△CDF与△DEB全等的本质，角平分线的上边的关系可以自己总结下，都是捎带手的事）

10、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．

（3）CD、AB、AD间？直接写出结果

（思路推荐：对角平分线性质的综合运用，根据辅助线去证明就好了，看完全题再做每一道小题，可以说是大局观也可以说是看看题中是否有借鉴性的东西，此题不明显中考题中比较长见到）

11.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点． 求证：点P在∠C的平分线上．

（思路推荐：角平分线性质的逆定理或者角平分线定理的证明。过点P向三边作垂线利用角平分线性质和等量代换去证明）

（思路推荐：角平分线证明是利用直角三角形中的HL证明的）

12..已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。

（思路推荐：第一步得到垂线相等利用AAS，第二步角平分线证明是利用直角三角形中的HL证明）

13．如图3所示，△ABC中，AB=AC，AD是∠A的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，其中正确的结论有( )

①AD平分∠EDF； ②AE=AF； ③AD上的点到B、C两点的距离相等

④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

（思路推荐：前边的思路都已提到，自己想）

14．已知：AD是△ABC角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，证：∠B＝∠C.

（思路推荐：直角三角形全等HL，角平分线性质）

15．三角形中到三边距离相等的点是（　　）

A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点　

C、三条中线的交点　 D、三条角平分线的交点

（思路推荐：定义，如果能画图证明并总结就更有意思了）

转【化之后的另一种形式：面积】

16．（2015•湖州）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（　　）

10　　　 B． 7 　　　　　C． 5 　　　　　D． 4

（思路推荐：角平分性质与面积公式）

17. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是多少？

(思路推荐：将三角形面积分为三部分来看，整体去算，利用角平分线性质。此处要熟悉三角形周长公式的变形或者定义)

18．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为51和38，则△EDF的面积为（　　）

A．6.5 B．5.5 C．8 D．13

（思路推荐：面积的整体加减）

19.如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．

（思路推荐：第一步利用面积相等得到垂线相等，第二步证明角平分线）

20.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，

求△ABC的面积．

（思路推荐： 将三角形面积分成两部分计算，别忘记了单位）

21. 已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，求证：BD DE=AC．

（思路推荐：自己搞一搞就行了此题为对前边的熟练题型送分题）

22．（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为　　　　　　．

（思路推荐：送分题）

23．如图，△ABC的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）

A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5

（思路推荐：送分题）

答案：1.C 2.A 3.D 4.C 5D 10.AD=AB CD 13.D 15.D 16.C 17.33 18.D

20.15平方厘米 22.15 23.C

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