利用三角函数求三角形的面积公式(三角形面积问题的真正解法和出题意图)

三角函数面积问题,经常出现的位置是高考题的选择6-8题位置,大题第17题位置,有时候在题干以条件的方式给出,有时候会在问题中求最小值,这里又涉及到了均值不等式问题,在以后的节目中,我会专题讲解均值不等式。

三角函数面积问题,是高考题中高频出现的问题。题中出现三角形面积问题其实并非是单纯的让你求面积那么简单,真正的考点是问题的转换,转换成“求边,求角”的问题,还是需要应用前两期讲过的“四个公式,两个定理”来解决。


说到这里,我们回忆一下三角形面积公式。这样的公式如果小学数学不是体育老师教的,你应该张口就来,“底乘以高再除以二”。如果你觉得这不是问题,再问你一个,为什么三角形面积公式是“底乘以高再除以二”呢。好了,再给你次机会,那么高中的三角形面积公式为什么是“1/2abSinC”呢,这和小学的三角型面积公式有什么联系呢?如果这些问题你不能马上回答,勇敢点,在下方留言。我这样问,只是想让你明白,记东西不能只记内容,更要记“关联性”,高考是综合考试,考的是各个知识模块的理解,更是关联性。

我现在把三角形面积公式推导过程列在下面,以此为例,以后的导数、参数方程等都是这样的理解和记忆方式。

利用三角函数求三角形的面积公式(三角形面积问题的真正解法和出题意图)(1)

现在高中学的三角形面积公式怎么来的知道了吧,那就熟练的记住。我总是默默叨叨的强调,“理解记忆,快速应用“。那么到底快到什么地步叫做快速应用呢,这里我举个例子,像我们小学学的乘法口诀表那样,用你八核大脑无顿挫感脱口而出,才叫你记熟了。

接下来,我们拿题举例:

利用三角函数求三角形的面积公式(三角形面积问题的真正解法和出题意图)(2)

我们先从题干入手:

首先题干中会出现这样一句“废话”,△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c。好了,记住这句话每道题都有,但是什么时候不是废话呢?

重点强调:在△ABC前如果出现“钝角”、“直角”、“锐角”,这是本题的重要条件。

好了,继续审题。

Step1:条件中每项都出现了边,我们想到正弦定理,边换成正弦角。这样通过公式基本一至两步既可得到C角。

Step2:题中出现了面积,就是我们今天讲的重点,运用面积公式,我们得到的是ab乘积。

Step3:若得到周长,就是要算出a b c,c已知,求a b既可,用余弦定理联立方程既可。

思路捋完了,看详解及给分点:

利用三角函数求三角形的面积公式(三角形面积问题的真正解法和出题意图)(3)


对于解题过程中,我这里强调一下给分点,在往期的节目中我重点讲解过,高考卷子谁来评判,如何评判和给分点标准,我会再接下来的文章中继续介绍。对于给分点的步骤,有就给分,没有就不给分,所以对于得分点步骤一定要写全,批卷老师没时间和你“意会”。

比如(1)问中,如果没有写出CosC=½,直接写C=π/3,就不给分。

比如(2)问中,直接写出ab=6,而没通过面积公式求得,也不给分。

直接写出a b也不得分,必须体现出余弦定理运算才可以。


现在明白为什么你走出考场信心满满,出分的时候却比你估分要少那么几分或者十几分了吗。大题的书写过程被扣分,不要小瞧1-2分,六道大题如果因为书写过程扣分,累积起来就是一道大题的分值,得不偿失。

会,就把它写对,有理有据的把过程写完整,完整并不代表繁琐,参考上题过程,思考沉淀一下,把大题的书写过程,当做一个小短文,把过程像说话一样,说给判卷老师。

记住,是让判卷老师明白,不是只有你自己明白。


我们再来看一道,如何通过“几何意思”来速解的。

利用三角函数求三角形的面积公式(三角形面积问题的真正解法和出题意图)(4)

基本思路解法:

Step1:用面积公式求出角B。

Step2:用余弦定理求出AC。

Step3:别忘了这是钝角三角形,舍去一个增根。

来,我们详见过程。沉下心来,我们就是练练公式而已。

利用三角函数求三角形的面积公式(三角形面积问题的真正解法和出题意图)(5)

好了,我们在来“几何意义”画图速解,思路跟上,怎么简单怎么来,看图:

利用三角函数求三角形的面积公式(三角形面积问题的真正解法和出题意图)(6)

通过“文字意思”理解题意,通过“几何意思”找到联系,再通过“关键字”速辨题型,希望同学们在学习过程中熟练掌握。


下期我将讲解三角函数图像的“几何意义”及每个系数的“文字意思”,通过初中的二次函数举例,再讲解高中的三角函数,看看这些函数系数到底代表了什么。然后通过高考真题揭秘遇到三角形图像题,该从什么地方入手,正确的思路和解题顺序是什么。


透视考高数学,揭秘命题规律,关键字辨题型,题型不过三。陪你一起备战高考,我是数学毛老师,我们下期再见。

利用三角函数求三角形的面积公式(三角形面积问题的真正解法和出题意图)(7)

毛老师原创文章

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