各位数学高手帮帮忙解几道题(一个简单的求和问题)

在今天的故事开始之前,建议大家先阅读我之前写的前三篇文章做铺垫,防止今天的知识点变得突兀和难以理解。

各位数学高手帮帮忙解几道题(一个简单的求和问题)(1)

今天,我们继续来讲级数,话不多说,让我们看一个有趣的问题

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首先咱们说一下这个n带个感叹号是什么意思:

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我们n带个感叹号称为n的阶乘非常简单,咱们看一下上面这个运算就明白了。

当然这里还要个特例,大家要注意一下,它就是个人为定义的运算符号,没必要在意为什么。

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我们的本能是想知道上面那个级数的得数是多少,然而级数复杂之处就在于:你应该先判断它是收敛还是发散的再算也不迟,否则极有可能无功而返。(想了解收敛发散,建议大家先看我的第一篇文章)

于是,我们又要进行数学分析了:

我们把这个问题写得专业一下:

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我们要研究一下更加广泛的幂级数形式,来研究它的收敛半径R是多少,这一就把上面这个问题从特殊情况转化成一般情况了:

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拓展成幂级数,从特殊到一般

怎么求这个收敛半径呢,请出大数学家达朗贝尔来描述这个问题。

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达朗贝尔

达朗贝尔说道,我有一个定理,能帮你求出收敛半径R:

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达朗贝尔定理

于是,我们直接用上这个公式,进行计算:

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我们把p倒过来,它就是收敛半径R:

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这啥意思呢:这个幂级数收敛半径R无穷大啊,说明它处处收敛我们令x=1,自然又回到了之前的那个等式,这就从一般又回到了特殊,也就是我们的实际情况

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上面啰嗦了一大堆,我们终于证明了上面这个级数是收敛的,它趋于一个定值。那么就简单了,老办法,我们直接上软件儿算

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我们发现,这个结果趋于1.71828182846......

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1.71828182846......有什么数学意义呢?它能用分数表示吗,欢迎大家留言讨论~

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