数学界中的还未证明的猜想（数学中的美好结局问题）

“美好结局问题”是一个题目本身简单易懂，但至今未被解决的数学问题。世界上许多杰出的数学家都曾尝试解决这个问题，但都以失败而告终。那么“美好结局问题”究竟是一个怎样的问题呢？简单来说，这个问题就是将平面中的一些点连接成一个图形的问题。

撰文 Marianne Freiberger

翻译 房苑

审校 刘卓

首先我们以平面内三个不共线的点为例，显然，我们总能以这三个点为顶点画出一个三角形：

平面内任意三个不共线的点构成一个三角形。

那么如果平面内有四个点（其中任意三点不共线），我们可以画出一个什么图形呢？可以看到，将这些点两两连接，可以做出一个以这四个点为顶点的四边形：

可能得到的四边形。

但是由于这四个点可能有不同的分布方式，我们有可能得到一些看起来比较奇怪的四边形（如上图中位于中间的四边形）。这些四边形既有凹入的部分也有突出的部分，它们与我们脑海中浮现的“四边形”形象，即平整规则的矩形，完全不同。那么我们再加一个限制条件，看看能否依次连接给出的四个点画出一个凸四边形，即四边形所有的内角都不大于180度（这一条件保证了得到的四边形没有“凹陷”）。下图所示的四边形不是一个凸四边形，而上图中的左右两个四边形是凸四边形。

非凸四边形的一个例子。

下面这些简单的例子告诉我们，依次连接给出的四个点并不总能画出一个凸四边形：

依次连接给出的四个点可能无法画出一个凸四边形。

然而，当我们再加一个点时，情况就不同了。假如平面内有五个点（任意三点不共线），那么我们总能从这五个点中找出四个点，依次连接画出一个凸四边形。也就是说，这个新引入的点给我们带来了很大的灵活性。下面给出一些例子（事实上，利用给定的五个点你可能还可以画出一些不同的凸四边形）：

给定五个点（任意三点不共线），我们总能从中找出四个点，依次连接画出一个凸四边形。

上面的这个结果被数学家保罗·埃尔德什（Paul Erdős）称为“美好结局定理”，这源于一个美丽的爱情故事：埃尔德什的两个朋友George Szekeres和Esther Klein都曾研究上述问题，虽然他们最终并没有完全解决这个问题，但两位数学家结婚收获了美好的爱情。在本文的末尾，我们会粗略介绍一下他们的工作。

多少个点保证一定能得到凸n边形？

接下来容易提出的一个问题是：给出多少个点可以保证我们总能从中选出五个点构成一个凸五边形？答案是九个点（同样，任意三点不共线）。下面是我们给出的两个例子：

给定九个点（任意三点不共线），我们总能从中找出五个点，依次连接画出一个凸五边形。

为了保证总能画出一个凸六边形，我们需要十七个点。下面是给出的一个例子：

给定十七个点（任意三点不共线），我们总能从中找出六个点，依次连接画出一个凸六边形。

那么我们需要几个点才能保证一定能画出一个凸七边形呢？答案是——没有人知道。当然，更没有人知道几个点可以保证画出凸八边形，凸九边形，凸十边形，甚至凸n边形。埃尔德什和Szekeres认为，对于任意大于等于3的自然数n，能够确保我们一定能够从中找出n个点构成凸n边形的点数为：

可以验证，当n=3时（即需要画出一个三角形时），这个公式得到的结果是正确的，因为：

当n=4,n=5,或n=6时，上述公式仍然有效，因为：

且

但是当n>6时，根据上述公式计算得到的结果是否正确没有人知道。埃尔德什和Szekeres能够证明：为了确保一定能够得到一个凸n边形，我们至少需要平面内的个点，且这个点数是一个有限的数。也就是说，当给出足够多的共面的点时，我们总能从中找出n个点构成一个凸n边形。但是，迄今为止没有人能够证明给出平面内多少个点可以保证我们一定能够从中找出一个凸n边形。

“美好结局问题”为我们展示了这样一个有趣的现象：当一个系统足够大（例如有足够多的点）时，我们总能从中分离出一些有序的组分（例如凸多边形），即使这个系统整体是无序的。事实上，数学研究中的拉姆赛理论（Ramsey theory）就在研究上述问题。

“美好结局定理”n=4情况下的粗略证明

现在假设平面内有五个点，其中有三个点可以连接成一个三角形，且其他两个点包含在这个三角形内部，我们称它们为点A和点B。点A和点B决定的直线将这个三角形分为两个部分。其中一个部分包含这个三角形的一个顶点，另一个部分包含这个三角形的另外两个顶点，我们称这两个顶点为点C和点D。

图中三角形被过内部两点的直线分为两个部分。

运用基本的几何知识不难理解，下图中四边形ABCD的每一个内角都不超过180度，也就是说，下图中的四边形ABCD是一个凸四边形。

如果五个点中的任意三个点构成的三角形都不能将其他两个点包含在内部呢？那么就至少有一个点落在三角形外部（如下图所示）。这时，我们可以将三角形的三个顶点和三角形外的一个点连接构成一个四边形。同样不难理解这个四边形的所有内角都不大于180度，也就是说这样构成的四边形是一个凸四边形。证毕。

至少一个点在三角形外部。

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