如何用环的理论解决著名的二平方和问题（如何用环的理论解决著名的二平方和问题）

二平方和问题是个古老的问题，早在三世纪末，丢番图就已经在研究哪些自然数能够表示成二平方数之和，但很长时间，人们的研究停留在算术阶段，直到费马提出形如4n 1的素数可表示成两平方数之和，这个问题的研究开始清晰起来，最后由欧拉将这个问题完全解决。用费马命名的定理我们听过不少，前面证明过数论中的费马小定理，是欧拉定理的特殊情况，还有非常著名的费马大定理，直到不久前1994年才被怀尔斯证明。二平方和问题又叫做费马二平方和问题，它比费马小定理要困难，主要思路是将自然数分解成素数的积，问题简化成研究素数是否可表示成两平方数之和，而全部的素数可以按照模4的同余分类。

二平方和问题与高斯整数环有关。后面我会循序渐进介绍环的理论，这一期主要给出几种整环的定义，以及用环的性质解决二平方和的问题，至于欧氏整环，主理想环环、唯一因子分解整环之间的关系，待以后讲解了环的理论之后再给出证明。

容易看出这正是整数的性质，所以整数环Z是欧氏整环。PID,UFD,ED之间是由关系的，那就是每个ED都是PID，每个PID都是UFD。

于是高斯整数环也是唯一因子分解整环。有了这个结论，再去解决二平方和问题，就更简单了。在欧拉的年代，并没有发展出环的理论，所以欧拉需要用初等数论的方法证明高斯整数环因子分解的存在性和唯一性，而用环的理论，证明了它是欧氏整环，就间接证明了它具有分解的存在性和唯一性。接下来通过下面3个定理解决二平方和问题。