怎么求一个三角形的外接圆的值(一道高中几何题-求四边形的外接圆的半径)

一道高中几何题-求圆内接四边形的外接圆的半径

一个圆的内接四边形的相连的四个边分别是25, 39, 52, 60,求这个圆的直径。

怎么求一个三角形的外接圆的值(一道高中几何题-求四边形的外接圆的半径)(1)

解: 如图, 设AB=25, BC=39, CD=52, DA=60,∠DAB=y, 并设DB=x,

怎么求一个三角形的外接圆的值(一道高中几何题-求四边形的外接圆的半径)(2)

在三角形DCB和三角形DAB中分别用余弦定理:

怎么求一个三角形的外接圆的值(一道高中几何题-求四边形的外接圆的半径)(3)

由于:

怎么求一个三角形的外接圆的值(一道高中几何题-求四边形的外接圆的半径)(4)

化简:

怎么求一个三角形的外接圆的值(一道高中几何题-求四边形的外接圆的半径)(5)

由此可以推出:

cos(y)=0,

即y=90°

因此DB是直径, 利用勾股定理可以得出:

怎么求一个三角形的外接圆的值(一道高中几何题-求四边形的外接圆的半径)(6)

实际上另一种解题思路是,当发现:

怎么求一个三角形的外接圆的值(一道高中几何题-求四边形的外接圆的半径)(7)

就发现了BD是直径,这是因为只有对应的四边形的对顶角为90度才有此结果。这一点通过上面的推导过程可以证明, 读者自己可以确认。

思考,此题恰巧赶上了对角的余弦是0, 若假定没有cosy=0的情况,这道题也是可以求解的,因为通过cosy的值可以算出siny, 同样可以通过三边长度求出另一个角的余弦,再算出正弦,这样通过正弦定理就可以直径, 因为:

a/sinA=b/sin B=c/sinC=2R

,

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