几何题如何完全做对（几何难题各种条件交织）

这是在今日头条上看到的几何难题。

如图，在△ABC中，点P在边BC上，∠PAC=60º，PC=1，AP AC=2，若△APB的面积是√3/2，求AB的长。

几何难题

首先判断一下A点是不是动点。如果只有∠PAC=60°这一个条件，显然A是△APC外接圆上的动点。现在加了一个条件AP AC=2，A点同时符合这两个条件还能动吗？怎样判断？

作辅助线，标上数据

为了解题方便，作AD⊥BC，PE⊥AC。设AP=a，AC=b，AD=c，BP=d。

对△PCE用勾股定理：PC²=PE² CE²，即

1²=a²sin²60° (b-acos60°)²，

1=3a²/4 b² a²/4-ab，

a² b²-ab-1=0。

∵a b=2，∴b=2-a，代入上式：

a² (2-a)²-a(2-a)-1=0，

a²-2a 1=0，a=1，b=1。

也就是说，如果同时满足两个条件∠PAC=60º和AP AC=2，则△APC是等边三角形。

以上证明过程再次用到了余弦定理的一种证明方法，这是初中学生可以理解的方法。高中学生直接用余弦定理可以很快得到a=b。

显然c=AD=√3/2。

S△APB=cd/2=√3/2，d=2。

△ABD是直角三角形，

AB²=AD² BD²

=(5/2)² (√3/2)²=7。∴AB=√7。

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