初中数学常考的数学问题（初中数学中考常见最短路径问题）

最短路线问题是初中几何图形中经常遇到的一类问题，而利用两点之间线段最短是我们经常用来解决现实生活中路线最短的常用公理之一。所谓两点之间线段最短是指连接两点之间所有的线中，线段最短。下面， 我们通过具体实例来体验几何图形中的线路和最短问题。

1．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）.

【分析】

利用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线的长度转化为两个（定）点之间的距离，从而可得答案．

【详解】

【点睛】

本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上也有所差别．

2．如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点．若AE=2，当EF CF取得最小值时，则角ECF的度数为（ ）.

【分析】

可以取AB的中点G，连接CG交AD于点F，根据等边△ABC的边长为4，AE=2，可得点E是AC的中点，点G和点E关于AD对称，此时EF FC=CG最小，根据等边三角形的性质即可得∠DCF的度数．

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是利用等边三角形的性质找对称点．

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，S△ABC＝60，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AB于点E，AC于点F，在EF上确定一点P，使PB＋PD最小，则这个最小值为（ ）.

【分析】

根据三角形的面积公式即可得到AD的长度，再由最短路径的问题可知PB＋PD的最小即为AD的长．

【详 解】

【点睛】

本题主要考查了最短路径问题，熟练掌握相关解题技巧及三角形的高的计算方法是解决问题的关键.

【分析】

在BC上截取BQ'=BQ，连接PQ'，易证PQ'=PQ，显然当A、P、Q'三点共线且时，的值最小，问题转化为求△ABC中BC边上的高，再利用面积法求解即可.

【详解】

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、垂线段最短和面积法求高等知识，属于常考题型，在BC上截取B'Q=BQ，连接PQ'，构造全等三角形,把所求问题转化为求PA PQ'的最小值是解题的关键.

【分析】

根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．

【点睛】

本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是找出P的位置．

【分析】

如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．

【详解】

【点睛】

此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．

7．如图，点 A，C，A′在同一直线上，△ABC，△BCB′，△A′B′C 是三个全等的等边三角形，AB=5，D 为线段 B′C 上一动点，则 AD BD 的最小值是 _____．

【分析】

根据△ABC，△BCB′，△A'B'C是三个全等的等边三角形，即可得出四边形A'B'BC为菱形，进而得出点B关于B'C对称的点是A'，以此确定当点D与点C重合时，AD＋BD的值最小，代入数据即可得出结论．

【详解】

【点睛】

本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的性质，解题的关键是找出点B关于

B'C对称的点是A'。

8．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？

【分析】

分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2与OA、OB的交点即为乙、丙的位置.

【详解】

【分析】

要使所走路程最短，即所走路程可以转换成一条直线，可以通过作C、D关于

L1、L2的对称点，即可发现解答本题的思路.

【详解】

【点睛】

本题考查了轴对称的性质，根据题意将题型转化为轴对称的题型是解题的关键.

【分析】

要使三角形ABC的周长最小，即A、B、C三点可转换到一条直线上，即作点A关于射线OM、ON的对称点P、Q，连结PQ，分别交OM、ON于点B、C，即为所求点。

【详解】

【点睛】

本题的解题关键是将三角形周长最短的问题，转换成轴对称问题.

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