直角三角形直角到斜边最短的距离（怎样计算直角三角形重心到直角边的距离）

重心的一个重要性质

在【从正三角形内一个点说起 - 今日头条】https://m.toutiao.com/is/erXAEya/这篇文章里谈到了正三角形的重心和帕波斯定理。我们来看看重心的两个性质：

①三角形三条中线相交于一点，称为三角形的重心。每条中线被重心分为两段，其比例是2:1，较长的一段和顶点相连。

②三角形重心和三个顶点的连线，把三角形分为三个面积相等的三角形。

我们先证明第二个性质。请看下图：

图中的公共点S就是重心。我们要证明的是ΔSAB、ΔSAC和ΔSBC面积相等。

重心和中线把三角形分为红色数字标注的6个小三角形，如图所示：

因为D、E和F是三边的中点，所以三角形1=三角形2，同理，三角形3=三角形4，三角形5=三角形6

为什么这3对三角形面积相等？因为它们等底同高。

同理可证，三角形1 2 3=三角形4 5 6，

又因为三角形3=三角形4，

所以三角形1 2=三角形5 6，

同理可证，

三角形1 2=三角形3 4=三角形5 6

于是，重心的第二个性质证明完毕。

这6个小三角形全部面积相等。

计算重心到直角边的距离

那么，直角三角形怎样计算重心到直角边的距离呢？

如果用帕波斯定理计算圆锥体体积，就必须解决这个问题。请看下图：

图中ΔAGB是直角三角形，H和D是两条直角边的中点，AH和BD交于点F，根据重心的定义，F是直角三角形ΔAGB的重心。直角边AG是旋转轴，而EF就是重心到旋转轴的距离。

怎样计算EF的长度？

先说结论：EF是直角边GB的三分之一。

直角边AG是圆锥体的高，直角边GB是圆锥体的底面半径。现在我们来证明这个结论。

由前面论证的重心的性质2可得：

三角形AFG面积是三角形ABG的三分之一，

因为这两个三角形是同底不同高，所以它们的面积之比等于高之比。

这两个三角形的高分别是EF和BG，所以EF是BG的三分之一。

证明完毕。

两种方法对照验算

六年级数学下册第11页有一道例题：圆锥体的小麦堆，如果底面半径是2米，高1.5米，那么小麦堆的体积是多少立方米？

公式：V=1/3 πr²h

1/3 ×3.14×2²×1.5

=3.14×6÷3

=6.28（m³）

上面的结果作为对照，先放一边。

接下来，用帕波斯定理计算圆锥体体积。

先算直角三角形面积：

S=2×1.5÷2=1.5

再算半径

r=2÷3

=0.666667

再算圆周长

C=2×3.14×0.666667

=4.186669

最后算体积

V=SH

=1.5×4.186669

=6.280004≈6.28（m³）

通过以上计算验证了以下结论：直角三角形重心到旋转轴的距离等于半径的三分之一。

圆锥体体积公式的三分之一怎么来的

我们用帕波斯定理计算等底同高的圆锥体体积和圆柱体体积就可以知道为什么圆锥体体积公式有个三分之一。

请看下图：

六年级小学生知道长方形旋转形成圆柱体，直角三角形旋转形成圆锥体，但是不知道为什么圆锥体体积是等底同高圆柱体体积的三分之一。

数学教科书用实验（倒沙子，倒水，倒米）证明确实是三分之一。但是小学生知其然而不知所以然。

上图的公式推导终于用小学生能够理解的方法解释清楚了。

当你理解了用帕波斯定理计算圆锥体体积的原理后，就能明白这个定理到底表达了什么意思：

其实是在说，一个圆锥体的体积等于下图的三棱柱的体积。

这个三棱柱的截面是形成圆锥体的直角三角形，高等于直角三角形重心旋转一周的圆周长。

圆锥体的体积要复杂一些，而三棱柱的体积计算那是通俗易懂，底面积乘以高，多简单。

帕波斯定理真是天才的想法，用化归的数学思想，把复杂问题转化为我们熟悉的，简单的低难度问题。而且还解决了各种旋转体的体积计算问题。

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数学课本1

数学课本2

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六年级下册数学课本

数学课本回避了圆锥体积公式的推导，可能是担心小学生难以理解吧。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

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