全称量词与存在量词的最值问题（简单的逻辑联结词）

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．

(2)命题p∧q、p∨q、非p的真假判断真

2.全称量词与存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．

逻辑联结词中的“或”相当于集合中的“并集”，

逻辑联结词中的“且”相当于集合中的“交集”，

逻辑联结词中的“非”相当于集合中的“补集”，

3.要点整合

（1）若p∧q为真，则p，q同为真；

若p∧q为假，则p，q至少有一个为假；

若 p∨q为假，则p，q同为假；

若p∨q为真，则p，q至少有一个为真．

（2）“p∧q”的否定是“非（p∧q）”或“(非p)∨(非q)”；

（3）﹁p，p∨q，p∧q的真假判断

（4）全称命题与特称命题的否定

（5）否命题与命题的否定

练习题

题型一. 含有一个逻辑联结词命题的真假性

例1. 已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( )

A．p∧q B．(非p)∧(非q)

C．(非p)∧q D．p∧(非q)

解析：　根据指数函数的图象可知p为真命题．由于“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，所以q为假命题，所以非q为真命题．逐项检验可知只有p∧(非q)为真命题．故选D.

[答案]　D

判断含有一个逻辑联结词命题的真假性的步骤

第一步：先判断命题p与q的真假性，从而得出非p与非q的真假性．

第二步：根据“p∧q”与“p∨q”的真值表进行真假性的判断．

变式1．设命题p：3≥2，q：函数f(x)＝x＋(x∈R)的最小值为2，则下列命题为假命题的是( )

A．p∨q B．p∨(非q)

C．(非p)∨q D．p∧(非q)

解析：选C.命题p：3≥2是真命题，命题q是假命题，

∴(非p)∨q为假命题，故选C.

变式2．已知命题p：∀x∈R，2x<3x，命题q：∃x∈R，x^2＝2－x，若命题(非p)∧q为真命题，则x的值为( )

A．1 B．－1

C．2 D．－2

解析：选D.∵非p：∃x∈R，2x≥3x，要使(非p)∧q为真，

∴非p与q同时为真．由2x≥3x得≥1，

∴x≤0，由x^2＝2－x得x^2＋x－2＝0，

∴x＝1或x＝－2，又x≤0，

∴x＝－2.

题型二. 含有一个量词的命题的否定

例2. 命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是( )

A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1

B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1

C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1

D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1

解析：　由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为全称命题，则所求命题的否定为∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1，故选A.

[答案]　A

(1)特称命题与全称命题否定的判断方法：“∃”“∀”相调换，否定结论得命题．对没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；

(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．

变式1．命题p：∃x0∈R，x^2＋2x0＋2≤0的否定为( )

A．非p：∃x0∈R，x＋2x0＋2>0

B．非p：∀x∈R，x2＋2x＋2≤0

C．非p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0

D．非p：∃x0∈R，x＋2x0＋2＜0

解析：选C.根据特称命题的否定形式知非p：∀x∈R，x^2＋2x＋2>0，故选C.

变式2．设命题p：任意两个等腰三角形都相似，q：∃x0∈R，x0＋|x0|＋2＝0，则下列结论正确的是　( )

A．p∨q为真命题 B．(非p)∧q为真命题

C．p∨(非q)为真命题 D．(非p)∧(非q)为假命题

解析：选C.∵p假，非p真；q假，非q真，

∴p∨q为假，(非p)∧q为假，p∨(非q)为真，(非p)∧(非q)为真，故选C.

题型三. 全称命题与特称命题真假性的应用

例3. 已知p：∃x0∈R，mx^2＋1≤0，q：∀x∈R，x^2＋mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )

A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，2]

解析：　依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx^2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m^2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.

[答案]　A

根据全称与特称命题的真假性求参数范围的步骤

第一步：对两个简单命题进行真假性判断．

第二步：根据p∧q为真，则p真q真，p∧q为假，则p与q至少有一个为假，p∨q为真，则p与q至少有一个为真，p∨q为假，则p假q假．

第三步：根据p、q的真假性列出关于参数的关系式，从而求出参数的范围．

变式1．若命题“存在实数x0，使x^2＋ax0＋1＜0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为( )

A．(－∞，－2] B．[－2，2]

C．(－2，2) D．[2，＋∞)

解析：选B.因为该命题的否定为：“∀x∈R，x^2＋ax＋1≥0”是真命题，则Δ＝a^2－4×1×1≤0，解得－2≤a≤2.故实数a的取值范围是[－2，2]．

变式2．若“∀x∈R，sin x≤m”是真命题，则实数m的范围为( )

A．[1，＋∞) B．(－∞，1]

C.[-1，＋∞) D．(－∞，-1]

解析：选A.∵∀x∈R，≤sin x≤1.

∴“∀x∈，sin x≤m”为真命题时，m≥1，故选A.

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