待定系数法求二次函数的情况（如何用待定系数法求二次函数解析式）

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如何用待定系数法求二次函数解析式？只需要记住下面的1、2、3

1——如果二次函数解析式中只有一个字母,只需要找到函数图象上一个点的坐标代入即可；

2——如果二次函数解析式中有两个字母,则需要找到函数图象上两个点的坐标代入即可；

3——如果二次函数解析式中有三个字母,通常需要找到函数图象上三个点的坐标代入即可.

当然，求的过程中还要善于使用交点式、顶点式和一般式的特点，才能让问题变得简单。

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参考答案

试题文字内容

专题(四)　求二次函数的解析式

类型1　已知二次函数解析式,确定各项的系数

如果二次函数解析式中只有一个字母,只需要找到函数图象上一个点的坐标代入即可；如果二次函数解析式中有两个字母,则需要找到函数图象上两个点的坐标代入即可；如果二次函数解析式中有三个字母,通常需要找到函数图象上三个点的坐标代入即可.

1.若抛物线y＝－ax2－4ax－的图象经过点A(－3,0),则该抛物线的解析式是y＝－x2－x－.

2.已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,－3),则该抛物线的解析式是y＝x2－2x－3.

3.如图,已知抛物线y＝ax2－x＋c与x轴相交于A、B两点,并与直线y＝x－2交于B、C两点,其中点C是直线y＝x－2与y轴的交点,求抛物线的解析式.

解：∵直线y＝x－2交x轴、y轴于B、C两点,

∴B(4,0),C(0,－2).

∵y＝ax2－x＋c经过点B、C,

∴解得

∴y＝x2－x－2.

类型2　利用“三点式”求二次函数解析式

如果已知函数图象上三点的坐标,通常设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c.

4.已知二次函数的图象经过点(－1,－5),(0,－4)和(1,1),则这个二次函数的解析式为(D)

A.y＝－6x2＋3x＋4

B.y＝－2x2＋3x－4

C.y＝x2＋2x－4

D.y＝2x2＋3x－4

5.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2 cm,点A,C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线经过点A,B和D(4,－).求抛物线的解析式.

解：设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c.

由题意,得A(0,－2),B(2,－2),

因为抛物线y＝ax2＋bx＋c过A,B,D三点,将三点坐标代入,得

解得

所以抛物线的解析式为y＝x2－x－2.

类型3　利用“顶点式”求二次函数解析式

如果已知二次函数顶点和图象上另一点,则设二次函数解析式为y＝a(x－h)2＋k.如果已知对称轴、最大值(最小值)或者二次函数的增减性也考虑利用“顶点式”.

6.已知二次函数的图象经过点(1,10),顶点坐标为(－1,－2),则此二次函数的解析式为(A)

A.y＝3x2＋6x＋1 B.y＝3x2＋6x－1

C.y＝3x2－6x＋1 D.y＝－3x2－6x＋1

7.(普陀区一模)如图,已知二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,6),对称轴为直线x＝2,求二次函数的解析式并写出图象最低点坐标.

解：设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋k.

把A(1,0),C(0,6)代入,得

解得

则二次函数的解析式为y＝2(x－2)2－2＝2x2－8x＋6,二次函数图象最低点坐标为(2,－2).

类型4　利用“交点式”求二次函数解析式

如果已知二次函数图象与x轴的两个交点为(x1,0),(x2,0),那么设二次函数解析式为y＝a(x－x1)(x－x2).

8.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B、C分别为坐标轴上的三个点,且OA＝1,OB＝3,OC＝4,则经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y＝－(x＋4)(x－1).

9.已知二次函数对称轴为直线x＝2,且在x轴上截得的线段长为6,与y轴交点为(0,－2),求此二次函数的解析式.

解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2,且在x轴上截得的线段长为6,

∴抛物线与x轴两交点为(－1,0),(5,0).

∴设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－5).

将点(0,－2)代入上式,得－2＝a(0＋1)(0－5),

∴a＝.

∴二次函数的解析式为y＝(x＋1)(x－5),

即y＝x2－x－2.

类型5　利用“平移”或“翻折”求二次函数解析式

利用“平移”或“翻折”求二次函数解析式的一般步骤为：(1)先根据平移规律或折叠的性质求出平移或翻折后的抛物线的顶点坐标；(2)根据平移不改变抛物线的形状和大小,翻折后的抛物线与原抛物线的形状、大小相同,但开口方向相反,确定a的值；(3)利用顶点式,设平移或翻折后的抛物线的解析式是y＝a(x－h)2＋k,再代入a的值和顶点坐标,即可求出平移或翻折后的抛物线的解析式.

10.已知抛物线C0的解析式为y＝2x2＋x.

将抛物线C0向左平移1个单位长度,得到抛物线C1,则抛物线C1的解析式为y＝2x2＋5x＋3.

11.已知二次函数y＝－3x2＋1的图象如图所示,将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为(D)

A.y＝－3x2－1

B.y＝3x2

C.y＝3x2＋1

D.y＝3x2－1

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