数字歌课文(数的畅想曲下)

昨天发了数集的前半部分,有兴趣的小伙伴们戳这里。

今天咱们从有理数开始接着说。

实数、无理数

实数:real number。实数集用R表示。

实数是在有理数集合上增加了无理数的结果。

有没有人想过这个问题:

整数,分数,奇数,偶数,这些名称都勉强能理解;

“有理数”是什么鬼?因为它比较有理?

无理数就更奇怪了,它哪里失去理智了?

不是无理数失去理智,是历史上要消灭无理数的人们失去了理智。

数集扩展到有理数,人们一度觉得这回差不多够用了。

你看,四则运算封闭了,数集又是稠密的。

从宏观上看,有理数要多大有多大。

从微观上看,有理数之间的缝隙要多细有多细,感觉已经跟没有缝隙差不多了(可惜这只是感觉)。

所以在公元前500年左右,古希腊的主流学术代表毕达哥拉斯学派认为,有理数是自然、连续衔接的(其实并不是),有理数和数轴也实现了一一对应(其实也并不是)。

所以毕达哥拉斯学派认为,“一切数均可表示成整数或整数之比(分数)”;这个数集代表着完美,理性,理智;有理数集无敌于天下!

今天我们知道,做判断题时有一个屡试不爽的规律:只要一句话说的太绝对,口气很强硬,说不存在任何反例的,那么它十有八九都是错的。

这个故事也是一样。

很快就出现了一个反例:

一个人的出现,动摇了毕达哥拉斯学派建立在有理数基石上的整个哲学大厦的根基。

这个人的名字叫做希帕索斯(Hippasus,也译成希伯斯)。他是无理数的发现者,也是受害者。

凶手就是有理数的卫道士们。

具体来说就是,这个希帕索斯是毕达哥拉斯的学生,也是毕达哥拉斯学派的成员。

他经过反复研究发现,边长为1的正方形(一说正五边形)的对角线长度很诡异,似乎不在有理数的范围里。

他没有能给出严格的证明,但是他能确定的是,这个对角线长不是有理数。

于是他就正式对毕达哥拉斯学派之前的结论提出了质疑。

这一下就捅翻了马蜂窝:

正规说法是所谓的三大数学危机的第一次。

毕达哥拉斯学派很不开心,后果很严重。

要知道当时的这个学派可不是什么善男信女组合,也不是什么文质彬彬的知识分子,整天坐而论道。

伦家是当时的主流学派,在社会上名声很大,结交的都是上层社会的名流,搞的沙龙都是会员制的,不是敲门就能进的。而且,他们隔三岔五还要去给国家最高领导人上个数学课什么的,类似于后来的英国皇家科学院。

你想,这么一个高大上的团体,怎么会容得自己的哲学理论被人质疑。

更何况是公开的尖锐质疑!

又更何况质疑者还是他们自己的一员!

面对这个啪啪响的耳光,毕达哥拉斯和他的学生们没有认真反省自己理论的不完备,更没有对希帕索斯的结论进行研究和吸收;相反,他们很愤怒,采取的对策是不遗余力的打压,要把斗争升级:要武斗,不要文斗。

毕达哥拉斯说,我们不仅要在学说上把你搞臭(比如把新发现的这个数称为无理数),更要在肉体上把你消灭。

希帕索斯听到消息就跑路了,过了几年远遁海外亡命天涯的日子,后来还是被抓住:最后的结果是被装进大口袋里扔进了大海。

无理数的发现者就这么被杀害了。

科学和历史的道路上,从来就不缺残忍的烂帐、可笑的阴谋。

知道这个故事之后,每当看到“无理数”这三个字,我看到的确实是无理,但不是正方形对角线的无理。

这个对角线惹着谁了?它客观地、静静地存在着,千百年从未变过,只等着大家来发现,何无理之有?

“无理数”这个名称,作为一个带血的昭示和无声的证据,警戒着那些硬要对自然知识和科学研究扣上帽子的人们:

无理的是固步自封,无理的是绞杀进步。

同时,它衬托出来的是那些孤身前行,敢于质疑权威的伟大学者的不朽光辉。科学从来就不是循规蹈矩者所认定的理想当然,更不是某个服务于统治阶级的政治集团或学派手中的玩物。她只会垂青于永不满足现状,永不放弃梦想,愿意付出自己的智慧、力量乃至生命而不懈探索的追寻者。

正义女神有时候蒙着眼,但她一定明察秋毫。

历史的时钟流转千年,科学终向希帕索斯还以清白。

现在我们仔细看,希帕索斯发现的这个对角线的长度。

当今接受过一定教育的人们都知道,根据勾股定理,边长为1的正方形对角线的长度是

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那么问题来了:

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确实不是有理数吗?

确实不是。

为什么呢?

之前说过,相对枯燥的证明不是咱们的本意,所以无兴趣的童鞋请跳过下面斜体部分:

已知:有一个数是

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。(这算神马已知?!)

求证:它不是有理数。

用反证法:与需要证明的结论做一个相反的假设,在此基础上用正确的推导过程推出错误,就能证明假设不成立。

也就是说,先假设

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是有理数,看看会不会推出什么毛病来。

根据定义,任何一个有理数都可以表示成p/q的形式,其中p,q都是整数。

光这个设定一会还不够推出矛盾,我们还要更进一步:要设定这个p/q是既约分数——通俗的说就是p和q已经不能再约分了(不记得约分的童鞋看过来:两个数一起除以一个大于1的整数,还能得到两个更小的整数,这个过程就叫约分,比如6/8=3/4,9/15=3/5等)。

由于约分的过程一定是有限的,所以我们一定可以用已经约到底,不能再约的结果作为这里的表示式p/q。

下面正式开始推导:

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=p/q两边平方,得到2q*q=p*p。

q是整数,所以等式左边就是个偶数。

那么右边也就得是个偶数,所以p得是偶数。

所以p可以表示为2p1,其中p1是整数。

再代入上面那个等式,就是2q*q=(2p1)*(2p1)=4p1*p1,也就是q*q=2p1*p1。

这个新的等式右边是偶数,那左边也得是偶数,从而q也是偶数。

这就矛盾了!刚刚说了,p和q是已经约到底不能再约了的,怎么现在冒出来它俩都是偶数,两个偶数还可以再用2去约呀。

说好了不约,怎么又约。到底约不约,能不能有个准!

结论是,“

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是有理数”的假设不能成立。

所以

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不是有理数。

这个简单漂亮的证明过程是有主人的,它归大数学家欧拉版权所有。

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到底是什么?

不是有理数,就只好叫无理数。

也就是说,无理数是在我们认识的有理数之外的一群数,他们以

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为典型代表,不在有理数的管辖区里。

比如

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,π 1,3e等等。

如果都化成小数来看,那么:

整数就是小数部分为0的特殊小数(4=4.0);

分数分为两种,有限小数(比如1/4=0.25)和无限循环小数(1/7=0.142857142857…)。

这三类小数都是有理数。

无理数就是无限不循环小数,大家最熟悉的就是

π=3.1415926……,

e=2.7182818284590……,

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=1.41421356……,

等等。

这些数都是实际存在的,都是要在数轴上有自己的座位的。

所以,有理数只稠密,不连续。

稠密是说,要多挤有多挤;不连续是说,不管你有多挤,中间还是存在着好多好多的空当,永远填不满。

这两者并不矛盾。

用前文的例子来说,无限长的公路两侧,有几乎无限多的尘埃细沙,细沙之间的空隙要多细有多细——但是空隙始终存在,这就叫稠密不连续。

而把无理数这个新的补丁再补充到数有理集里来,形成的这个新的数集叫什么呢?

由于它们都是实际存在的数,所以叫实数。

实数集空前强大:

首先,实数集无限。

而且,实数集的这个无限的等级比有理数、整数、自然数都高!

专业的说法是,有理数、整数、自然数的无限等级是阿列夫零,实数的无限等级是阿列夫一。

我们这是科学的普及和漫谈,不是高等数学的专业研究,小伙伴们只要明白,阿列夫一是比阿列夫零更高级的存在就可以。

类似说大家都是神仙,但是有理数、自然数这些只是地上的灯笼鬼、狐仙之类的散仙;而实数已经是天上的有正规编制的大仙了,至少也是赤脚大仙。

其次,实数集不可列。由于实数已经在宏观和微观上都臻于化境,所以对实数进行穷举是不可能的;想要像有理数那样,找到一个规律然后把所有的数都按照顺序列出来,也是做不到的。

不用说整个实数集,就是任何两个实数(比如0和1)之间,想要用某种规则列出其中所有的实数,都是做不到的。

不过,实数还保留了一点小纯真:实数仍然是可比的,任何两个实数之间,总还可以比较大小。这一点听着有点好笑吧?下面说到虚数就笑不出来了。

然后,实数集连续。

这是一个非常优美的特点。

如果把有理数近似比喻成沙堆的话,实数就可以近似比喻成水——沙堆再密,总还有缝隙;而水已经连成一片,宏观世界里再难想象和观察其缝隙了(说分子间有缝隙的是对的,求不抬杠)。

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另外,实数集与直线数轴一一对应:任何一个实数都在数轴上有一个确定的位置;反过来,数轴上任何一个点都对应着一个实数。

最后,实数集对加减乘除(除数不为0)和乘方(幂)运算都封闭,对开方运算不封闭:它搞不定负数的偶次方根问题。

复数、虚数

复数:complex number。复数集用C表示。

复数是在实数的基础上增加了虚数的结果。

上面说了,实数对开方运算不封闭:直白说就是,负实数偶次方根开不出来。

开不出来就开不出来呗,反正数轴直线都已经填满了,你找出这个数来也没有地方放啊。

不行。

数学家们很执着很严谨,一定要继续研究。

横着的数轴上没地方放,就再弄一条竖着的直线来放。

这是怎样一种精神(病)!

数学家发现,之所以所有的负数开偶次方都开不出来,归根到底是因为

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开不出来。只要

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有了定义,其他的事情都好办。

好,既然如此,那就这样:不管

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是什么玩意,也不管它到底在哪里存在,我们把它设成i,先这么用着再说。

于是虚数就这么被定义出来了,i就是虚数的单位。

在这种“先用起来再说”的胆略后面,其实数学家们有点虚。有点心虚。

摘抄几个历史上大佬对虚数的评价:

“这是没有意义的、想象中的、虚无缥缈的数。”——意大利学者卡当。

“这是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,大概是存在和虚妄两界中的两栖物。”——德国数学家莱布尼茨。

“它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻。”——瑞士大数学家欧拉。

“实数的鬼魂,想象中的数。”——法国数学家笛卡尔。

从这些评价中能看出,历史上的这些数学家们还是有闲工夫的,没少研究神鬼之说。

既然发明的人和使用的人大家都这么虚,所以这类数就叫做虚数。

虚数不再有大小之比(这可能也是让数学家们觉得虚的原因)。

比如刚刚说的

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(下面就用i代替)和实数0之间,其实是无法比大小的,证明过程也并不复杂,这里不赘述了。

从几何意义上来说,i对应的点,既不能放在原点左边,又不能放在原点右边,还不能和原点重合。

那把它往哪放?!

其实刚才前面已经轻微剧透了:不能左也不能右,就往上面放……放到原点的上面去……

你横着的数轴不是填满了吗,我就再弄条竖的轴来放虚数:

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横着的X轴(实数)和纵着的Y轴(严格说是除去原点之外的Y轴,虚数)共同组成了一个平面,叫做复平面。

只有在x轴上的实数才能比较大小;除此之外,整个复平面上的任何两数之间,都是不能比较大小的。

我想,这就是大神欧拉对虚数评价的内涵吧。

再写一遍:

它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么。

虚数的产生导致了两个有意思的结果:

第一,虽然虚数本身感觉是“虚”的,但它的引入却为科学家提供了研究向量(带方向的量,也称矢量,比如物理里的力,功,速度等)的最好工具。

第二,虚数的产生改变了无理数的地位。长期以来无理数作为数集大家庭里最后来的小弟,一直底气不足;直到虚数这个更后来的小弟出现,无理数终于被正式纳入到实数的范围里,媳妇熬成婆,大家一起欺负虚数。

复数是目前常用的数集里外延最广的数集。

复数集无限,不可列,连续(展开内容复杂,不在此处讨论),对加减乘除乘方(幂)开方六则运算都封闭(除数不为0)。

尾声

从自然数扩展到了复数,人类使用的数集终于基本告一段落。

回顾这个演变和扩充历史,里面其实记录着的都是人类对世界的认识不断深入的过程。这个过程有血有泪有心跳。科学史和科学故事很精彩,有时也很无奈。

有理数,无理数,实数,虚数,还有更多更多的数,他们都在静静地等待着人类的研究和认识;而只要人类社会的斗争还在,为了科学事业流血牺牲的人就不会绝迹。

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