中考几何代数综合题(中考热点顺藤摸瓜)

多年来中考试题中,数与代数综合问题经久不衰,它常常涉及数与式、方程与不等式、函数与图像、应用与探索等多方面的内容。大家普遍认为它具有综合性强、区分度高、难度大等特点。往往所涉及的知识点多、技巧性强、覆盖面大。

解答这类问题的关键是正确理解题目中的已知与未知之间的关系。运用不等式的性质、方程的解法或根的判别式与根与系数关系、函数图像位置特性以及增减性等进行综合分析,其间往往一般还需要进行分类讨论才可完满求解问题。

中考几何代数综合题(中考热点顺藤摸瓜)(1)

类型1 数与式难题,灵活巧解源于代数式的融会贯通

例1.(南通中考题)已知x=2m n 2和x=m 2n时,多项式x² 4x 6的值相等,且m﹣n 2≠0,则当x=3(m n 1)时,多项式x² 4x 6的值等于______.

【思路1】把x=2m n 2和x=m 2n分别代入多项式x² 4x 6中,由相等关系,(2m n 2)² 4(2m n 2) 6=(m 2n)² 4(m 2n) 6,化简得(m-n 2)(3m 3m 6)=0, 因m﹣n 2≠0,所以3m 3m 6=0,x=-3, 代入多项式x² 4x 6可求得值为3.

【思路2】取m=0, 则x=n 2和x=2n,别代入多项式x² 4x 6中,由相等关系,可得n=-2,再把m=0, n=-2,代入x=3(m n 1)=-3,代入所求式同样求出结果。

【思路3】先将x=2m n 2和x=m 2n时,多项式x² 4x 6的值相等理解为x=2m n 2和x=m 2n时,二次函数y=x² 4x 6的值相等,

中考几何代数综合题(中考热点顺藤摸瓜)(2)

∴3m 3n 2=﹣4,m n=﹣2,

∴当x=3(m n 1)=3(﹣2 1)=﹣3时,

x² 4x 6=(﹣3)2 4×(﹣3) 6=3.

故答案为:3.

中考几何代数综合题(中考热点顺藤摸瓜)(3)

类型2 方程型难题,依据已知条件,顺藤摸瓜,灵活转化条件是这类问题常用策略

例2. (荆州中考题)已知关于x的一元二次方程x² (k﹣5)x 1﹣k=0,其中k为常数.

(1)求证:无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;

(2)已知函数y=x² (k﹣5)x 1﹣k的图象不经过第三象限,求k的取值范围;

(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.

【分析】(1)求出方程的判别式△的值,利用配方法得出△>0,根据判别式的意义即可证明;

(2)由于已知二次函数图像不经过第三象限,又△=(k﹣5)²﹣4(1﹣k)=(k﹣3)² 12>0,所以抛物线的顶点在x轴的下方经过一、二、四象限,根据二次项系数知道抛物线开口向上,由此可以得出关于k的不等式组,解不等式组即可求解;

(3)设方程的两个根分别是x1,x2,根据题意得(x1﹣3)(x2﹣3)<0,根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围,再进一步求出k的最大整数值.

【解答】(1)证明:∵△=(k﹣5)²﹣4(1﹣k)=k²﹣6k 21=(k﹣3)² 12>0,∴无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;

(2)解:∵二次函数y=x² (k﹣5)x 1﹣k的图象不经过第三象限,二次项系数a=1,∴抛物线开口方向向上,

∵△=(k﹣3)² 12>0,∴抛物线与x轴有两个交点,

设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2,

∴x1 x2=5﹣k>0,x1•x2=1﹣k≥0,解得k≤1,

即k的取值范围是k≤1;

(3)解:设方程的两个根分别是x1,x2,

根据题意,得(x1﹣3)(x2﹣3)<0,即x1•x2﹣3(x1 x2) 9<0,

又x1 x2=5﹣k,x1•x2=1﹣k,

代入得,1﹣k﹣3(5﹣k) 9<0,解得k<5/2.

则k的最大整数值为2.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数的图象和性质,二次函数与一元二次方程的关系,根的判别式,根与系数的关系,综合性较强,难度适中.

中考几何代数综合题(中考热点顺藤摸瓜)(4)

例3.(乐山中考题)已知关于x的一元二次方程mx² (1﹣5m)x﹣5=0(m≠0).

(1)求证:无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;

(2)若抛物线y=mx² (1﹣5m)x﹣5与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且|x1﹣x2|=6,求m的值;

(3)若m>0,点P(a,b)与Q(a n,b)在(2)中的抛物线上(点P、Q不重合),求代数式4a²﹣n² 8n的值.

【分析】(1)直接利用△=b²﹣4ac,进而利用偶次方的性质得出答案;

(2)首先解方程,进而由|x1﹣x2|=6,求出答案;

(3)利用(2)中所求得出m的值,进而利用二次函数对称轴得出答案.

【解答】(1)证明:由题意可得:

△=(1﹣5m)²﹣4m×(﹣5)

=1 25m²﹣10m 20m=25m² 10m 1=(5m 1)²≥0,

故无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;

(2)解:mx² (1﹣5m)x﹣5=0,

(x﹣5)(mx 1)=0,解得:x1=﹣1/m,x2=5,

由|x1﹣x2|=6,得|﹣1/m﹣5|=6,

解得:m=1或m=﹣1/11;

(3)解:由(2)得,当m>0时,m=1,

此时抛物线为y=x²﹣4x﹣5,其对称轴为:x=2,

由题已知,P,Q关于x=2对称,

∴(a a 2)/2=2,即2a=4﹣n,

∴4a²﹣n² 8n=(4﹣n)²﹣n² 8n=16.

中考几何代数综合题(中考热点顺藤摸瓜)(5)

类型3 函数难题,通过关键点坐标纽带特性,融会贯通方程、不等式与函数知识三者之间联系,是解决函数必要条件及常用策略。

例4.(苏州中考题)如图①,直线l表示一条东西走向的笔直公路,四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地,点A,D在直线l上,小明从点A出发,沿公路l向西走了若干米后到达点E处,然后转身沿射线EB方向走到点F处,接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处,最后沿公路l回到点A处.设AE=x米(其中x>0),GA=y米,已知y与x之间的函数关系如图②所示,

(1)求图②中线段MN所在直线的函数表达式;

(2)试问小明从起点A出发直至最后回到点A处,所走过的路径(即△EFG)是否可以是一个等腰三角形?如果可以,求出相应x的值;如果不可以,说明理由.

中考几何代数综合题(中考热点顺藤摸瓜)(6)

【分析】(1)根据点M、N的坐标,利用待定系数法即可求出图②中线段MN所在直线的函数表达式;

(2)分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况考虑:①考虑FE=FG是否成立,连接EC,通过计算可得出ED=GD,结合CD⊥EG,可得出CE=CG,根据等腰三角形的性质可得出∠CGE=∠CEG、∠FEG>∠CGE,进而可得出FE≠FG;②考虑FG=EG是否成立,由正方形的性质可得出BC∥EG,进而可得出△FBC∽△FEG,根据相似三角形的性质可得出若FG=EG则FC=BC,进而可得出CG、DG的长度,在Rt△CDG中,利用勾股定理即可求出x的值;③考虑EF=EG是否成立,同理可得出若EF=EG则FB=BC,进而可得出BE的长度,在Rt△ABE中,利用勾股定理即可求出x的值.综上即可得出结论.

【解答】(1)设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx b,

将M(30,230)、N(100,300)代入y=kx b,

30k b=230,100k b=300,解得:k=1, b=200,

∴线段MN所在直线的函数表达式为y=x 200.

(2)分三种情况考虑:

①考虑FE=FG是否成立,连接EC,如图所示.

∵AE=x,AD=100,GA=x 200,∴ED=GD=x 100.

又∵CD⊥EG,∴CE=CG,∴∠CGE=∠CEG,

∴∠FEG>∠CGE,∴FE≠FG;

②考虑FG=EG是否成立.

∵四边形ABCD是正方形,∴BC∥EG,∴△FBC∽△FEG.

假设FG=EG成立,则FC=BC成立,∴FC=BC=100.

∵AE=x,GA=x 200,∴FG=EG=AE GA=2x 200,

∴CG=FG﹣FC=2x 200﹣100=2x 100.

在Rt△CDG中,CD=100,GD=x 100,CG=2x 100,

∴100² (x 100)²=(2x 100)²,

解得:x1=﹣100(不合题意,舍去),x2=100/3;

③考虑EF=EG是否成立.

同理,假设EF=EG成立,则FB=BC成立,

∴BE=EF﹣FB=2x 200﹣100=2x 100.

在Rt△ABE中,AE=x,AB=100,BE=2x 100,

∴100² x²=(2x 100)²,

解得:x1=0(不合题意,舍去),x2=﹣400/3(不合题意,舍去).

综上所述:当x=100/3时,△EFG是一个等腰三角形.

中考几何代数综合题(中考热点顺藤摸瓜)(7)

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出一次函数关系式;(2)分FE=FG、FG=EG及EF=EG三种情况求出x的值.

中考几何代数综合题(中考热点顺藤摸瓜)(8)

例5(资阳中考题)如图,已知直线l分别与x轴、y轴交于A,B两点,与双曲线y=a/x(a≠0,x>0)分别交于D、E两点.

(1)若点D的坐标为(4,1),点E的坐标为(1,4):

①分别求出直线l与双曲线的解析式;

②若将直线l向下平移m(m>0)个单位,当m为何值时,直线l与双曲线有且只有一个交点?

(2)假设点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点D为线段AB的n等分点,请直接写出b的值.

中考几何代数综合题(中考热点顺藤摸瓜)(9)

【解析】(1)①把D(4,1)代入y=a/x得a=1×4=4,

所以反比例函数解析式为y=4/x(x>0);

设直线l的解析式为y=kx t,

中考几何代数综合题(中考热点顺藤摸瓜)(10)

化为关于x的方程得x² (m﹣5)x 4=0,

△=(m﹣5)2﹣4×4=0,解得m1=1,m2=9,

而m=9时,解得x=﹣2,故舍去,

所以当m=1时,直线l与双曲线有且只有一个交点;

(2)作DF⊥x轴,如图,

∵点D为线段AB的n等分点,∴DA:AB=1:n,

∵DF∥OB,∴△ADF∽△ABO,

∴AF/AO=DF/BO=AD/AB,即AF/a=DF/b=1/n,

∴AF=a/n,DF=b/n,∴OF=a﹣ a/n,∴D点坐标为(a﹣a/n ,b/n),

中考几何代数综合题(中考热点顺藤摸瓜)(11)

中考几何代数综合题(中考热点顺藤摸瓜)(12)

方法总结:从以上5个例题我们不难体会到这类问题求解策略,"顺藤摸瓜",通俗地讲就是在阅读题干的时候,每出现一个条件,就必须大胆联想有这个条件能推导出什么结论,得出的结论对解题所求结果有什么帮助,还可继续拓展得到什么,想办法沟通靠拢。

,

免责声明:本文仅代表文章作者的个人观点,与本站无关。其原创性、真实性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容文字的真实性、完整性和原创性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并自行核实相关内容。文章投诉邮箱:anhduc.ph@yahoo.com

    分享
    投诉
    首页