黎曼潜行怎么使用（小明聊黎曼2）

黎曼猜想其实大部分人都知道，如果用一句话概括就是黎曼函数的非平凡零点的实部都是。想介绍黎曼猜想势必离不开对黎曼函数的介绍，我们就一步步的先从最简单的说起吧。

我们先从一个大家都知道的概念出发——数列。照字面意思解释就是数的排列，比如下面几个例子都是数列

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11……

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256……

45, 26, 15, 78, 34, 67, 839, 1234, 542, 779……

很显然第一个是自然数的数列，第二个是个公比为2的等比数列，很多学霸肯定在拼命的计算第三种是啥数列，在这里鞠个躬，不好意思没啥规律，就是个随机数的排列，这其实也是个数列。

对于第一个数列，它的第1项是1，第2项是2，第3项是3，第n项是n；对于第二个数列，它的第1项是21，第2项是22，第3项是23，第n项是2n。n和2n就是所谓的通项，就是用项数n来表示数列第n项的值。我们一般用Sn表示数列前n项的和，初中数学教过我们等比和等差数列的求和公式，这里不列出了，因为和题目没什么关系。

说穿了级数就是数列前n项求和，就是我们上面提到的Sn，只不过换了一个更高大上的名字而已。无穷级数顾名思义，就是数列无穷项求和的值（这个值不一定存在）。

这个概念看似复杂，其实只是说上面提到的无穷级数的和是否存在的问题。如果存在就说级数收敛，如果不存在就说级数发散。这里所说的存在是要一个确定的具体的数，无穷大不算。（当然收敛还分绝对收敛和条件收敛，这里并不牵涉到，就暂时不说了）

调和级数指的是这么一个特殊的无穷级数，它是从1开始所有自然数的倒数的和，如下：

这个级数非常重要，请容许我这里多废话几句。

14世纪晚期，奥雷姆提出了对于调和级数趋于无穷大的证明，这个证明在今天看来也是十分简单易懂的。推导过程如下：

数学上对于这些级数以及无穷大和无穷小的量的研究被统称为分析。此后大数学家欧拉也对调和级数有更深入的研究，在1748年出版的关于分析的教科书中把它叫做《无穷小的分析引论》。（后面我们还要不断的提到这位大数学家。欧拉可以说是史上最多产的以为数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．）由于对于无穷大和无穷小的运用的不严谨导致了数学上的大混乱，也是第二次数学危机的源头。经过将近200年的时间，数学家的不断努力，最终将这两个概念提出了现代数学理论。并给于了微积分严谨的数学理论基础——极限。我上面提到的无穷大其实应该表述为，对于任意的数S，无论它多大，最终级数的和都会超过他。但是这样的表述有些繁琐，我就简单的称为无穷大了。

欧拉画像