最巧妙数学证明（你见过哪些堪称绝妙的数学证明）

Mar.

29 灼见（penetratingview）

抓住问题的本质，有些时候会消除“跑偏”带来的及其繁杂的额外工作。

作者 | 知乎@户飞

写在前面：

如果你是高中生，而且想要详细了解学习并掌握这种方法的话，建议你重点关注第三道题，也就是那道2011年山东高考真题，并把它吃透。因为那毕竟是一道相对较难的高考题，几乎囊括了这种方法可能会用到的思路。如果你只是看着玩，那道题尽可跳过。

01

高中数学有一道题对我影响很大，以至于我现在大四了，这道题还记得清清楚楚。

之前高中的时候数学卷子上有一道题，大概是这样的：

如图所示，两个椭圆离心率相同，从外层椭圆的两个顶点AB分别引一条内椭圆的切线。两条切线斜率乘积为-1/4。问椭圆离心率是多少？

我记得老师讲这道题讲了整整一节课，讲了两种方法，计算过程写了整个黑板。但是我在听评讲的时候，觉得我考试的时候用的方法要简单的多，甚至几乎不用计算。

我的方法是：既然离心率相同，就说明两椭圆相似，那就先把整个图形纵坐标乘a/b，缩放成圆：

这时，两切线垂直，斜率乘积为-1。这可以通过连接OD、OC，进而证明两直角三角形ODB和OCA全等得以证明：

而之前的斜率乘积是-1/4，说明a/b=2，离心率为 。

当我下课单独找老师说出这个方法时，老师都很惊讶，我还小小地得意了一回。从那以后，好像打开了新大门似的，突然发现好多圆锥曲线的高考题都能用这种“先缩放成圆”的方法很简单的解决，省略了特别多的计算量，这些题里包括全国卷的，四川卷的，山东卷的……我专门用了一个本子记录了这些题。

再后来，我专门查了一下，发现这里面的学问还很深。有一门专门的学科分支，叫射影几何，专门研究我发现的这种问题。我之前做题的时候找到的那些“特殊点”，射影几何里专业的名词叫做“反演点”……这是一个非常完善的几何学分支，我所应用的那些只不过是“射影几何”的皮毛，凑巧被我偶然发现了而已。

为什么说对我影响很大呢？因为通过这种巧妙的方法，我明白了圆锥曲线的题，虽然大家都说实际上是计算量超级大的代数题，但它毕竟是“曲线”，它的本质毕竟是几何。

抓住问题的本质，有些时候会消除“跑偏”带来的及其繁杂的额外工作。虽然我现在所从事的专业早已经不是数学，而是工程科学，但是，由于工科是目标导向型学科，这个道理在工科领域其实更加普遍。

有时候，我容易埋头苦干，调试各种程序电路光路，却毫无进展，这时我总会想到高中的这个巧妙的方法，然后回过头想一想事情的本质，说不定就会柳暗花明。

最近闲来无事，翻了翻之前高中记录这些题的本子，里面有很多用类似方法的。再分享一道差不多的题吧。

02

如图所示：

过椭圆一顶点A作一直线和椭圆相交于Q，和y轴相交于M。过原点作射线与椭圆相交于P，有OP//AQ。求证：

这道题的最优解法仍然是用射影几何的方法。同样，图形纵坐标×a/b，椭圆变成圆，再连接OQ，MB：

设，伸缩变换后：

（r 为圆的半径，由于平行条件可得出）

注意到，两等腰三角形相似：

于是有：

将以上几式联立，代入半径r，最终得到：

还有很多相似的题，高中生可以借鉴一下。但是这毕竟是剑走偏锋，考试的时候还是主要用老师的方法，实在想不出来了，再试试射影几何的方法。

也许有人会说，这个用了会扣分，确实是会扣分，但是你反过来想，你啥时候会想到用这个呢？肯定是常规方法做不出来的情况啊，那你肯定宁愿用这个扣分，也不愿意空着没分吧。更何况小题的话，用了有分，不用没分，收益更大嘛。

03

2011年山东卷的压轴题好像是一道解析几何，并且能用射影几何变换；2014年的四川卷（也可能是2015年）的解析几何能够用这个方法；2011江苏的解析几何大题应该也可以。

除此之外，有兴趣的也可以自己试一试。

下面，我用射影变换的方法做一下11年山东卷的最后一道解析几何压轴题。如果有兴趣的同学可以试着用标答的方法做一下，然后再用射影几何变换做一下，再和我的方法比较一下。题目如下：

解：

将原图形的纵坐标 （a/b设为λ），椭圆变成圆：

（1） 的面积为与原的面积之比为λ。在此不做证明。提供两个思路：一是三角形的坐标面积公式，二是把三角形补成矩形。

于是有：

得到：

由几何关系易得： ，通过λ系数变换回椭圆即证得。

y的平方类似，我就不打公式了。

（2）在椭圆中，按照题意连接OM，如下图所示：

设 ,三角形OMQ的面积为S，并且有 ，

则有 ,其中，θ为 的大小，问题转化为求sin(θ)的最小值. 设圆中对应的

把θ沿[平行于横轴的水平线]分为两个角 和 ，圆中对应的角为 和 ，如下图所示：

有：

只考虑θ为锐角的情况（钝角的时候，通过对称性可解得），要求sin(θ)的最小值，即求θ的最小值，即求tan(θ)的最小值。

将以上三式联立，容易解得：

当 时，等号成立，得到tanθ，通过三角函数关系易求得：

代入t得到： .

（3）不存在。由（1）得到：若三角形面积为 ，变换成圆后必为等腰直角三角形。而三个直角相加 为 270°，不等于360°。

所以不存在。

—THE END—

☀本文选自知乎，作者：户飞。灼见经授权发布。

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