微积分入门基本公式第55讲(微积分发展史6:曲线和切线)

上一讲我们讨论了直线的斜率,直线好说,关键是曲线怎么办?曲线跟直线不同,它完全可以在这里平缓一点,在那里陡峭一点,它在不同地方的倾斜程度是不一样的。所以,我们就不能说一条曲线的倾斜程度(“斜率”),而只能说曲线在某个具体点的倾斜程度。

于是,我们就需要引入一个新的概念:切线

微积分入门基本公式第55讲(微积分发展史6:曲线和切线)(1)

切线,直观地看,就是刚好在这点“碰到”曲线的直线。因为切线是直线,所以切线有斜率,于是我们就可以用切线的斜率代表曲线在这点的倾斜程度。

传统上我们可以这样定义切线:先随便画一个直线,让这条直线与曲线有两个交点,这样的直线叫割线(仿佛把曲线“割断”了,如下图蓝色的AB)。然后,我们让B点沿着曲线慢慢向A点靠近,直观上,等到B点和A点重合之后,割线AB就变成了曲线在A点的切线。

微积分入门基本公式第55讲(微积分发展史6:曲线和切线)(2)

这样做很符合人们的直觉,但是它在逻辑上会有一点问题:当B点向A点移时,它是什么时候从割线变成切线的?

重合的时候么?如果B点和A点重合,那就最后只剩下一个点了,我们知道“两点确定一条直线”,一个点怎么能确定一条直线呢?但是,如果B点和A点不重合的话,那么这就仍然是一条割线而不是切线啊。

于是,这样就出现了一个“一看非常简单直观,但是怎么说都说不圆”的情况,似乎两个点不行,一个点也不行,怎么办?

解决这个问题有一个很朴素的思路:要确定这条切线,让A、B两点重合是不行的,但是让它们分得太开也不行。最好就是让这两点靠近靠近无限靠近,但是就是不让它们重合。没重合的话就依然是两个点,两个点可以确定一条直线;无限靠近的话又可以把它跟一般的割线区分开来,这样不就两全其美了么?

也就是说,A、B两点必须无限靠近但又不能重合,这样它们的距离就无限接近0但又不等于0。这是什么?这不就又是无穷小么?

我们前面求曲线围成的面积的时候,核心思想就是用无数个矩形去逼近原图形,这样每个矩形的底就变成了无穷小。在这里,我们又认为当A、B两点的距离变成无穷小的时候,割线AB就变成了过A点的切线,是不是有点巧?它们之间的共性,大家可以好好体会一下~

未完待续~

下一讲引入微分的概念

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