求直线与平面夹角的向量公式（用向量计算空间两条直线的夹角方法）

空间两条直线用向量计算夹角的方法

近年来高考数学利用向量计算二面角，直线夹角的试题似乎每年都有，这是一种趋势，说明向量计算的简洁和直观。

本篇讲述向量的点积，也叫数量积的计算方法，从而得出向量夹角的公式。

我们知道向量是有大小和方向：

两个向量的乘积可以是个数量，如力在一个方向上作用会使物体在另一个方向移动所做的功，这个积就是向量的点积，有：

为什么乘以余弦，而不是正弦，这是因为力做功只有在移动的方向才有功，垂直移动的方向是不做功的，或做功为零，而力在位移方向的投影就是和余弦相关。

两个向量不管放在哪里，只要大小相等，方向一致，就是一个向量，所以在直角平面坐标系中，某个向量的表达是唯一的，我们沿着x 轴的单位向量为i, 沿着y轴的单位向量为j, 那么向量a可以表示为：

由于单位向量i和j相互成90度，所以i.j=1x1.cos=0，因此：

由此可以推出平面两个向量如果知道它们的坐标， 那么它们的夹角余弦为：

此公式可以推广到三维空间的两个向量的夹角余弦值。

只要根据空间中的线段的两个有序端点的坐标，就可以求出向量a和b的ax, ay, az以及bx, by, bz, 带入上式就求得空间两条直线的夹角。例如下图的向量a和b的夹角的计算：