高中数学双曲线表达式（高中常见曲线的复数形式）

既然一个复数z=x yi可以表示一个点(x,y)，自然地，我也就想，那么显然可以用复数来表示我们常见的一些曲线。

用复数表示的曲线，最简单的是圆。

方程|z|=1表示单位圆，很容易理解，这个方程用x,y来表达就是

显然，方程|z|=1更简洁，我喜欢。

我们在这个最简单方程基础上，继续往复杂处挖掘。

方程|z−1|=2表示什么曲线？

还是用上面的手法研究。

哦，它表示以(1,0)为圆心，2为半径的圆。

我们有理由猜：

很显然，用复数表示圆的方程很简洁。

我们可以从另一个角度来看圆的方程。

现在我们可以继续往复杂的图形上攻击了。

椭圆怎么表示？

椭圆的定义：到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹。

这就是椭圆的轨迹方程。

在我的角度看来，椭圆的复数形式方程，几何性质很清晰，却不及代数形式更漂亮。

顺理成章，双曲线方程就可以表示成

很容易，就是到两定点的距离之差的绝对值为定值

同样，在我看来，这个形式也是几何性质清晰，却不漂亮。

那么抛物线呢？很遗憾，用复数表达两点间的距离很方便，表示点到直线的距离却非常难，而抛物线的定义是：到定点的距离等于到定直线的距离。

好吧，按照我的习惯，先搞简单再搞复杂的，既然抛物线如此复杂，我们就不妨先放下吧。看看还有没有更简单的。

对了，直线还没有讨论呢。

直线有多种定义方式，最方便用复数来描述的形式，莫过于中垂线形式：到两定点距离相等的点的轨迹，是直线。

于是，直线的复数形式方程就可以简洁写成：

方程简单固然简单了，却不符合我们高中生的习惯。我们的习惯定义是：经过两点确定一条直线。

设两点为P(x1 ,y1 ),Q(x2 ,y2 )则直线方程。。。。

哦，买，噶，不会复数形式啊，我只会写参数方程

参数方程是高中课本教了的，我这里就不抄书了。

看着参数方程，我突然有个很棒的主意

通过“硬算”，我们居然得到了一个很简洁的结论，比参数方程还简洁漂亮。

这是我一直推崇的“漂亮的数学”：原理简单，推导繁琐，结论好记。

现在，我得到了有别于圆（依托距离概念）的思路，我们还可以直接将普通方程或者参数方程，通过计算转换成复数形式。

复数z和实数x,y的关系显然有以下：

太棒了！现在可以解决最后一个问题，抛物线了。

哈哈，完美！

我们还可以用同样的办法求直线的复数方程。

完美，second！

小结：求曲线的复数方程思路有二。利用复数的几何性质，或者利用复数与实数的互相转化。

,