数学运算解题思路和技巧(从数学试题来认识)

[摘 要]从不同时期的数学教学大纲、数学课程标准中“教学目的”或“课程目标”对数学运算能力的描述变化,可以充分认识数学核心素养“数学运算”的能力要求.

[关键词]数学课程标准;核心素养;数学运算能力

从考试大纲及其说明中,可以了解考试大纲对运算能力的要求.《教学大纲》规定如何进行教学,而《考试说明》则规定考试的性质、内容、形式等.因此,《考试说明》与《教学大纲》是对立统一、相辅相成的.

1.《全日制十年制学校中学数学教学大纲(试行草案)》(中华人民共和国教育部制定,1978年2月第1版)的“教学目的”中对数学运算能力的要求是“具有正确迅速的运算能力”.

[例1]1982年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)第二大题第1小题:

求(-1 i)20展开式中第15项的数值.

解:第15项为

数学运算解题思路和技巧(从数学试题来认识)(1)

本小题结合了二项式的展开考查复数的运算能力,考查考生“正确迅速的运算能力”.

2.相应的数学科《考试说明》对复数运算这一内容的“考试要求”是“掌握复数的运算法则,能正确地进行复数的运算,并理解复数运算的几何意义”.

[例2]1991年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)第三大题解答题第(22)小题(本小题满分8分):

已知复数z=1 i,求复数

数学运算解题思路和技巧(从数学试题来认识)(2)

的模和辐角的主值.

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因为1-i对应的点在第四象限且辐角的正切tg θ=-1,所以辐角的主值

数学运算解题思路和技巧(从数学试题来认识)(4)

本小题考查复数基本概念和运算能力.

3.相应的数学科《考试说明》对复数运算这一内容的“考试要求”是“掌握复数的运算法则,能正确地进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法的运算,能正确地进行复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方的运算,并理解复数运算的几何意义”.这里明确提出了对复数的三角形式运算的要求.

[例3]1994年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)第三大题解答题第21题:

已知z=1 i.

数学运算解题思路和技巧(从数学试题来认识)(5)

由题设条件知(a 2)-(a b)i=1-i.

根据复数相等的定义,得

数学运算解题思路和技巧(从数学试题来认识)(6)

解得

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本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力.

4.对“运算求解能力”的要求为“会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件,寻找与设计合理、简捷的运算途径,能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”.

[例4]2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第(4)题:

如果复数(m2 i)(1 mi)是实数,则实数m=( ).

数学运算解题思路和技巧(从数学试题来认识)(8)

解析:由(m2 i)(1 mi)=(m2- m) (m3 1)i是实数,得m3 1=0 ⇒m=-1,故选B.

若考生能够知晓共轭复数的乘积是实数,则有m2=1且m=-1,选B.对“运算求解能力”的要求减少了“实施运算和计算的技能”,体现了考生对“数学模式作出思考和判断”.

5.数学运算是解决数学问题的基本手段.数学运算是演绎推理,是计算机解决问题的基础.

数学运算主要表现为:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,求得运算结果.

通过高中数学课程的学习,学生能进一步发展数学运算能力;有效借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展,形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

[例5]广西2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题第(2)题:

数学运算解题思路和技巧(从数学试题来认识)(9)

本题主要考查复数的模及共轭复数的概念,考查了考生复数运算的能力.

[例6]2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题第(2)题:

数学运算解题思路和技巧(从数学试题来认识)(10)

本题主要考查复数的概念,考查考生复数运算的能力.

[例7]2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第2题:

设复数z满足(1 i)z=2i,则|z|=( ).

数学运算解题思路和技巧(从数学试题来认识)(11)

本小题主要考查复数基础知识,考查考生复数的运算能力.

[例8]2019年普通高等学校招生全国统一考试文理科数学第2题:

若z(1 i)=2i,则z=( ).

数学运算解题思路和技巧(从数学试题来认识)(12)

本小题主要考查复数基础知识,考查考生复数的运算能力.

文/唐光明 广西南宁市第二中学(530000)

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