对数均值不等式的推导过程
对数均值不等式推导过程:(1)取正数x,y,z,有 x≥y≥z≥0,今天小编就来说说关于对数均值不等式的推导过程?下面更多详细答案一起来看看吧!
对数均值不等式的推导过程
对数均值不等式推导过程:
(1)取正数x,y,z,有 x≥y≥z≥0
(2)把x,y,z取对数,有 lnx≥lny≥lnz≥0
(3)将 lnx,lny,lnz 相加,有 lnx+lny+lnz≥3×lny
(4)将 x,y,z 的对数变换回去,有 xyz≥(xy)^3
(5)令 a=x/y,有 a≥1
(6)将(4)式子变形,有 (xy)^3≤xyz,即 y^2z≤x^2yz,即 yz≤x^2yz,即 z≤x^2y
(7)令 b=z/y,有 b≤a^2
(8)将(7)式子带入(6)式子,有 z≤x^2y,即 b≤a^2
(9)结论:对于正数x,y,z,满足条件x≥y≥z≥0时,有 b≤a^2,即z/y≤(x/y)^2,即 z^(1/2)≤xy^(1/2)
完整的对数均值不等式如下:
z^(1/2)≤xy^(1/2)≤(x+y+z)^(1/2)
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