圆中三大基本定理题型（一道高中几何题-求圆的一个弦长）

一道高中几何题-求圆的一个弦长

点A， B， C， D在一个圆周上，AC是直径，∠CBD=∠DBA，如果BC=2， AB=4，求BD的长度。参见下列的草图，注意这个草图不成比例。

解：

方法1：利用余弦定理， 如图将图形画的规范些， 可以看出点D是平分弧DC和弧DA， 这样D向CA的垂线的垂足为E是圆心。连接BE， 则BE和DE都是半径， 而直径AC利用勾股定理，可以求出，因为两个直角边为2和4， 所以

带入值后得出AC=2√5

所以BE=DE=√5

若要利用余弦定理求BD， 需要求角度∠EDD的余弦值，因此BF垂直于CA，垂足为F， 并设角∠BEC=α, 如下图：

BF按照面积的方法可以求出：

BF=（BC·BA）/CA=2·4/(2√5)=4/√5

所以sinα=BF/BE=4/5

因此cos∠BED=cos(α 90°)

=-sinα

=-4/5

随后在三角形BED中用余弦定理：

BD2=22 42-2x2x4(-4/5)

解出：

BD=3√2

方法2：用正弦定理, 如下图；

显然由于是同弧的圆周角相等，∠CDB=∠CAB=θ,

而sinθ=BC/AC=1/√5,

在三角形ABD用正弦定理有：