求y=1+x分之x平方的定义域(计算y11x)
本文通过定积分知识,分别以微元dx、dy计算曲线y1=1/x与直线y2=x、x=e围成的面积的主要步骤过程。
方法一:微元dx计算区域面积
此时画出曲线y1=1/x与直线y2=x、x=e围成的区域示意图,先求曲线y1与直线y2的交点,即:
1/x=x⇒x^2=1,取正数x1=1。
此时面积定积分表示为:
S=∫[x1,x2](y2-y1)dx
=∫[1,e](x-1/x)dx
=1/2*x^2-lnx[1,e]
=1/2*e^2-lne-1/2
=1/2*e^2-1-1/2
=1/2*e^2-3/2。
方法二:微元dy计算区域面积
此时画出曲线y1=1/x与直线y2=x、x=e^1围成的区域示意图,对以dy为微元计算面积时,总面积由三角形面积ABD和曲边形ABC的面积和,即S=Sabc Sabc。
同理联立曲线y1与直线y2,1/x=x,
即x^2=1,取正数x1=1。则:
AB=x2-x1=e-1,并对应求得纵坐标得:
y1=1/1=1,y2=2,则:
BD=y2-y1=e-1,此时三角形ABC的面积为:
Sabc=(1/2)AB*BD
=(1/2)(e-1)*(e-1)
=(1/2)(1-2e e^2).
当x=e时,y3=1/e,则:
Sabc=∫[y3,y1](e-1/y)dy
=(ey-lny)[1/e,1]
=e-2,
此时S有:
S=Sabc Sabc
=(1/2)(1-2e e^2) e-2
=1/2*e^2-e e-3/2
=1/2*e^2-3/2。
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