罗尔定理的正确性的验证（阿波罗定理的证明和应用）

阿波罗是古希腊的一位哲学家，他提出了这样一个定理，后人以他的名字命名这一个定理。

阿波罗定理:三角形任意两条边的平方和等于第三条边的一半的平方与其中线平方之和的两倍。

证法1：

如图所示，LO是底边MN的中线， 则有

选择直角坐标原点在点O处，x轴沿着边MN, y轴也是OY。当MN = 2a时，则点M和点N的坐标分别为(a, 0)和(- a, 0)。如果点L的坐标为(b, c)，则：

这样就证明了上述定理。

证法2

还有一种证明方法利用余弦定理，如图：

= -2m.n.cos(180-α)

= -2m.n.cos(α)

将上面的两个等式相加：

=2 ( )

该定理证明完毕。

证法3

利用勾股定理，做底边的垂线，如图：

=

=

将两个等式左右相加的：

=2 2 2

而

=

所以有

=2( ) ,

证明完毕。

利用阿波罗定理可以求三角形的中线， 如果给定三边的话。 同理它也可以求出平行四边形的一条对角线，若另一条对角线给定并且已知两边。

利用阿波罗定理的反定理可以证明四边形是平行四边形。若满足对角线的平方和是四边形的四个边的平方和。

即满足：

那么四边形是平行四边形。

如图：

四边形的四个边分别是， p, q, r, s, 对角线的长度是x, y

取对角线的中点M， N，根据阿波罗定理：

即M与N重合，即对角线平分，所以该四边形为平行四边形。