七年级数学书有理数法则(中学生课外读物数的产生与发展)

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七年级数学书有理数法则(中学生课外读物数的产生与发展)

七年级数学书有理数法则

中学生课外读物《数的产生与发展》(有理数内有关问题)

1.有理数与小数

由前知道,整数与分数组成有理数。

而认识了正分数,负分数是正分数的相反数,但多了一个-号而已。

对正分数的认识,从最简单的开始。

1/2=1÷2=0.5,

1/4=1÷4=0.25,

1/5=1÷5=0.2,

1/8=1÷8=0.125,

1/10=0.1,

1/100=0.01,

1/5000=0.0002,

这样的分数相除后,除到小数后某一位就除尽了,这样的小数叫有限小数。整数无小数部分(因小数部分全为0)。

可以得到有无数个分数均为有限小数。

反过来,有限小数均可化为分数。如:

0.57325

=0.5+0.07+0.003+0.0002+0.00005

=5/10+7/100+3/1000 2/10000+5/100000

=57325/10000

再约分至最简分数即得。

其它类似。

所以,有限小数就是分数,分数就是有限小数。这样一来,整数与有限小数都是有理数。

但还有一部分分数,化成小数是除不尽的,即小数点后有无数多位小数,我们把它们称为无限小数。

人们经过研讨发现,分数化为小数是无限小数时,后面的小数总是某段小数不断重复出现的形式。如:

1/3=0.33333333…

其中3不断重复出现。

1/6=0.16666666…其中6不断重复出现。

1/7=0.142857142857142857…其中142857不断重复出现。

1/9=0.11111111…其中1不断重复出现。

1/11=0.0909090909090…其中90不断重复出现。

1/13=0.076923076923076923076923…其中076923不断重复出现。

这样的小数我们称为无限循环小数。

∵1/9=0.1111111111111…

∴0.77777777…

=7×0.11111111…=7/9,

∵1/99=0.01010101…,

∴0.232323…

=23×0.01010101…

=23/99,

∵1/999

=0.000100010001…

∴0.831831831831…

=831×0.000100010001…

=831/999,

3.5221703703703…

=3+5221/10000+0.703703703…/100000

=3+5221/10000+703/999÷100000

=分数。

一般地,无限循环小数用数列求和及极限的有关知识可以证明,均可化为分数。

所以,无限循环小数是有理数。

这样就有:

从小数角度来说,有理数包括整数,有限小数和无限循环小数三大部分。当然,整数,有限小数和无限循环小数均是有理数。

问题:

0.1010010001000010000010000001…后面出现的每两个1之间的0的个数是不断增加的,这个小数就不是一个循环小数,它能化为分数吗?它是有理数吗?你还能写出类似的小数吗?

2.质数与合数

大家应该记得,在研究分数运算时,要对分数进行通分和约分,在通分和约分时要找要正整数的最大公约数和最小公倍数,其中要将每个正整数分成几个整数之积,并且分到不能再分为止。

一个大于1正整数不能再分成另两个正整数之积的数,我们称之为质数(或素数),即若一个大于1的正整数只能写成1与它本身之积而不能写成其它形式,则此数为质数(或素数)。如:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,91,97,101,…

其它的大于1的正整数称为合数。如:2,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,39,40,…

大于2的合数一定可以写成另几个质(或素)数之积。

正整数中,1既不是质数也不是合数。

在长期的运算积累中,人们发现了质数与合数的好多结论:

大于2的质数是奇数,

各位数字之和能被3整除的正整数是3的倍数,

末位是0或5的正整数是5的倍数。

要要得到一个数为质数,只需要将它分别除以小于它的质数2,3,5,7,11,13,17,19,…,让除数逐渐增加,整数商则一直减少,并且余数总不为0,当商比除数还小时,仍然除不断,即商仍不为整数,则此数为质数。

如101,只须选除数为2,3,5,7,分别去求商,得到的商全部不为整数,则101就是质数。不需要再用101去除以11,13,17,19等质数了。

这个方法,对于比较小的正整数来判断其是否为质数是有效可行的。

截止现在,人们对于质数研究,得出了很多基本结论,但也留下了许多未解之谜。

如:素(质)数有无数多个。

任何大于2的合数均可写成素数之积。

能否找一个式子f(n)(n∈N),使其值均是素数?

一个大的偶数,均可写成两个素数之和吗?

关于素数的研究,形成一门学科,叫《数论》,有兴趣可找专门书去学习。

3.整数集内不定方程

先看两元一次不定方程情况。

(1).求3x+5y=13的整数解

解:∵3x+5y=3+5×2

∴3(x-1)=5(2-y)

由于x、y为整数,可得:

x-1=5k且2-y=3k(k∈Z)

即x=5k+1且y=2-3k(k∈Z)

∴所求解有无数多组,可记为(x,y)=(5k+1,2-3k)(k∈Z),如(-9,8),(-4,5),(1,2),(6,-1),(11,-4),(16,-7)都是解。

(2).求34x 7y=89的整数解

解:①先试求一解:

x=1时,7y=55无解,

x=2时,7y=21,y=3。

∴x=1且y=3,记为(x,y)=(1,3)是一解。

②求所有整数解:

由上知:

34x+7y=89=34×2+7×3

34(x-2)=7(3-y)

由整除性知:

x-2=7k且3-y=34k(k∈Z)

x=7k+2且y=3-34k(k∈Z)

∴其所有解为:

(x,y)=(7k+2,3-34k)(k∈Z)。

(3).求解:x^2+y^2=z^2(x,y,z∈Z)。即求所谓的勾股数:找三个整数x、y,使其中两个x、y的平方和等于另一个z的平方。

解:∵x^2=(z+y)(z-y)

且x^2(x的平方),z+y,z-y都是正整数,

①当z+y=x^2时z-y=1

可得:z=y+1且y=(x^2-1)÷2

令x=2k-1得:y=2k(k-1),z=2k(k-1)+1(k∈Z)。

∴此时有解:(x,y,z)=(2k-1,2k(k-1),2k(k-1)+1)。如(-5,12,13),(-3,4,5),(-1,0,1),(1,0,1),(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),(11,60,61),(13,84,85)都是匀股数。

②当z+y=kx时z-y=x÷k,

解得:y=(kx-x÷k)÷2且z=(kx+x÷k)÷2

令x=2kn则:

y=nk^2-n,

z=nk^2+n。

∴方程有另外的解:

(x,y,z)=(2kn,nk^2-n,nk^2+n)(k∈Z,n∈Z)。

如:n=0时解为(0,0,0),

n=1时解为(2k,k^2-1,k^2+1),

n=2时解为(4k,2k^2-2,2k^2+2)

n=3时解为(6k,3k^2-3,3k^2+3)

k=o时解为(0,-n,n)

k=1时解为(2n,0,2n)

k=2时解为(4n,3n,5n)

k=3时解为(6n,8n,10n)

k=4时解为(8n,15n,17n)

由于是求整数解,还有其他情况讨论,得另外形式的解。

综上可知,一次不定方程的整数解求出已经完全解决,而高次不定方程的整数解求出是困难的。

(4).问题:

方程x^3+y^3=z^3(x,y,z均为大于3的整数)有没有解。

4.度量与有理数

有了数,就可以解决生活、生产中的问题,如:长度度量及计算,面积度量及计算,体积度量及计算,重量度量及计算,时间度量及计算等。

人们在度量中,先选一个物体为单位去度量某对象,如果单位选择过小,度量数过大,人们会选用更大的单位去重新度量,如果单位选择过小,不够一个单位或度量数过小不便记读,人们会选用更小的单位去重新度量,总之,让度量得到的数适中,便于人记忆、识别和处理。

比如:

度量房间大小,要测长宽高,要选用米为单位,如一房长10米,宽4.5米,高3.2来。

度量两城市之间距离,选用单位公里(km),如两市距离为429公里(km)。

度量恒星之间的距离,常用光年(即光一年所行驶的距离),如某两恒星间距为8.52光年。

而度量毛发直径,则须用到毫米单位,如某毛发直径为0.01毫米。

当然,不同单位之间是可以换算的。如:

1公里=2里=1000米,

1米=10分米,1分米=10厘米,1厘米=10毫米,1毫米=1000微米。

长度度量解决了,面积,体积也自然不在说下。

如:一个边长为1米的正方形面积=1平方米,它用它作单位,看某平面图形占地面积,如某房间有32平方米。

度量田地面积时,常用亩为单位,1亩=15平方丈=666(2/3)平方米。

度量体积时,可取棱长为1米的正方体所占空间大小作为1立方米为单位,看其它物体占空间大小。如某人身体有0.8立方米,某房间有3×4×3=36立方米,某水库贮水量为1.51亿立方米。

如度量某物轻重,人们先制作一金属件规定它为1公斤,然后看其它物体是它的多少倍,就得到这个物体有多少公斤。如某人63公斤,某牛1125公斤。

大件货物常取吨为单位,如某桥梁重2.3万吨,某车运载量为35吨。

要要称量一根头发多重,就需要用毫克或微克为单位了。

我们知道:

1吨=1000公斤,1公斤=1000克,1克=1000毫克。

度量时间,由于人们生活在地球上,便利用地球特点来记录时间长短。如四季一循环,便把四季经历的时间为一年,月亮起落循环出现,便把月亮这种规律的一个循环称为一月,太阳不断起落循环,便将某一个循环叫一天,一天有早晚,便把一天长短分成24等份,一份长短为1小时,把1小时长短又分成60等份,每份长短为1分钟。

这样一来,就可说:某人寿命为70年3月10天20小时5分。某人在校学习时间10个小时,在家学习时间3小间,做家务2.5小时,玩8小时,其余时间睡觉。

某人跑100米用时12.56秒。

某人走路平均速度为4.5公里每小时,某车行驶速度达到145公里每小时,严重超速。人造卫星速度为8.2每秒。

有了度量单位和有理数后,我们要表述我们所遇到的各种现象,就可以简明准确。

如:快,没有速度单位和数,怎么表述?快,很快,飞快,快的不可想象,一晃就不见了,一瞬间,一眨眼,这些形容词区分不了多少快慢,有了速度单位和数就将快慢划分成无数个等级,每个物体都处在某个等级上。

这给人们科学地准确认识世界研究世界,提供了必要的知识工具。

按说有了有理数及运算知识后,人们在生活、生产中的各种实际问题,都基本能得到解决,特别是在人们认识世界不是那么严格,精度不是那么高的前提下。

所以,人们以为有理数,就是所有的数了。这个观点盛行了好长好长时间。

5.有理数的其它运算:乘方与开方。

与相同数的加法可以写成乘法一样,人将相同数的乘法写成了乘方。

如:2×2×2=2^3,

5×5×5×5×5×5×5=5^7,

10^100=100个10之积。

2.305^7=7个2.305相乘。

一般地:当a∈Q,n∈N,n>1时a^n=n个a相乘,其中a叫底数,n叫指数,a^n称为正整数指数幂,读作a的n次方。

特别地规定:a^1=a,a≠0时a^0=1。

如2^3=8,3^2=9,5^3=125,(-3)^3=-27,…

当n∈N,n>1时0^n=0,1^n=1。

显然正有理数的正整数次方为正有理数,0的正整数次方为0,负数的正偶数次方为正数,负数的正奇数次方为负数。

边长为x的正方形面积为x^2,棱长为x的正方体的体积为x^3。利用这两个结论,可容易求面积和体积。

有了上述自然数幂定义,很容易推出自然数幂运算公式:

a^m×a^n=a^(m+n),

a^m÷a^n=a^(m-n),

(ab)^n=a^n×b^n,

(a/b)^n=a^n÷b^n,

(a^m)^n=a^(mn)。

如:3^2×3^3=3^(2+3)=3^5二243,

3^3÷3^2=3^(3-2)=3^1=3,

(2×3)^2=2^2×3^2=4×9=36,

(2/3)^2=2^2÷3^2=4/9,

(2^2)^3=2^(2×3)=2^6=64。

由a^3÷a^2=a^(3-2)=a^1知a^1=a的合理性。

由a^3÷a^3=a^(3-3)=a^0知a^0=1的合理性。

与加乘逆运算为减除一样,乘方也有逆运算,称为开方。具体含义如下:

∵2^2=4,∴底数2称为4的2次方根,也称为4的平方根。

∵(-2)^2=4,∴底数-2称为4的2次方根,也称为4的平方根。

可见4的平方根有2个,为±2,它们互为相反数。

∵2^3=8,∴2称为8的三次方根,也称为8的立方根。

由运算知8的立方根有且只有一个为2。

∵n∈N且n≥2时0^n=0,∴0的平方根,立方根,4次方根,5次方根,10次方根,1000次方根均为0。

一般地,若x^n=a,其中n∈N且n≥2,则称x为a的n次方根。

如:64的平方根为±8,立方根为4,6次方根为±2。

1的正偶次方根为±1,正奇次方根为1。

243的5次方根为3。

有了开方运算后,我们就可解下列问题:

面积为4的正方形的边长是什么?是4的正平方根,为2。

体积为64的正方体的棱长是多少?是64的三次方根,为4。

很显然:

正数的正偶次方根有两个,它们互为相反数,0的正偶次方根为0,负数没有正偶次方根。

正数的正奇次方根为一个正数,0的正奇次方根为0,负数的正奇次方根为一个负数。

正数a的正n次方根常用根号√来表示,在√左边弯弯上写上一个小n,√下面写上a即可,读作n次根号a。当n=2时常省略n,如√2就是2的正平方根,-√3就是3的负平方根。

开方的运算性质此处略。

6.新数的出现

人们以为有了有理数,数的世界就完美了,就可以用有理数来解决自然中的所有问题了。

在这种心满意足的状态下,人们度过了不短时间。

但事情总是向前发展的,一个数学家在数的研究中,发现了一个不可思议的问题。

√2=二次根号2,它不是一个分数,当然就不是有理数。

证明如下:

设√2=m/n(m,n∈N,n≥2,m与n互质),则:

m^2=2(n^2),

∵2(n^2)为一个偶数,且奇数的平方是一个奇数,

∴m^2中m为一个偶数,设m=2k(k∈N),代入上式:

(2k)^2=2(n^2),

4(k^2)=2(n^2),

2(k^2)=n^2,

即:n^2=2(k^2),

∵2(k^2)为一个偶数,且奇数的平方是一个奇数,

∴n^2中n为一个偶数,设n=2q(q∈N)。

由上知,m=2k(k∈N),n=2q(q∈N),∴m,n均为偶数,它们至少有公约数2。

这与m,n互质相矛盾,∴√2不能写成一个最简分数m/n的形式。

可见√2不是一个分数,当然不是一个有理数。

虽说证明都给出了,但人们不愿意相信这个事实。

有人想从另一个方面去推翻这个事实,就是想化√2为小数,看它是不是一个有限小数或无限循环小数。由于开方手算的艰难,最终不了了之。

有人受前例证明启发,又发现二次根号3,二次根号5,二次根号7,三次根号2,三次根号5,三次根号7,等均不能用分数表示。

初逼无赖,最后一部分人,慢慢承认了它们不是有理数,而是一类新数,就称它们为无理数。

经过研究深入,人们才最终承认并开始研究无理数。

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