数列求和创新题及答案（P级数求和以及其组成的数列求和）

形如

式中P、n均为正整数。其中当p=1时，公式如下，成为调和级数。

调和级数求和我们已经知晓，

式中 γ为 欧拉常数。

现有一P级数构成的数列，如下

那么求前p项和为多少？

猛一看这道题真的很难讨论，因为p为偶数时，ap趋向于固定值。公式如下

对任意的正偶数2n, 有

其中， B2n指的 是第 2n个伯努利数。

当p为奇数时，一般用黎曼函数表示ζ（p）。但对于任意值p，有

那么上述由p级数组成的数列，求和就变得扑簌迷离了。

不管他，我们先看一下自然数倒数之间的级数关系。

对于任意两个相邻的自然数倒数

更一般地，对于任意两个自然数x与x a。它们之间倒数存在如下关系：

有了上述关系，无疑给p级数求和提供了一个纵向参考，接下来我们研究一下p级数数列求和。

由P级数构成的数列如下

那么P级数数列求和如下

当P、n的值足够大，接近于无穷大时。根据自然数倒数之间的级数关系，可以得到以下近似关系式。

从以上推理不难看出，看似复杂的由P级数组成的数列求和，最后化繁为简。其近似结果趋向于p＋a1，其中调和级数a1＝ln（n＋1） γ

到这里推理就结束了，谢谢观看。有啥想法，欢迎评论区留言。觉得推理精彩，欢迎随手转发。有啥问题，也欢迎评论区提问。

再次感谢大家，祝你们幸福快乐每一天！