七年级数学正方形性质（正方形的性质之）

正方形是初中数学中一类重要的四边形，具备平行四边形的一切性质。因为正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，是个“完美”图形，因此它性质极其丰富，也是每年中考数学命题的热点。

本文介绍初中数学课本上没有的《正方形》“十字架”模型，希望给读者朋友们带来点启发，拓宽思路。

例题：如图，正方形ABCD边长为4，DF⊥CE。

（1）求证：DF=CE.

（2）若F是AB中点，证明：BG=BC,并求sin∠GBC=____

（3）F在运动过程中，求BG的最小值=_______

第（1）问：“十字架”模型，结论是若DF⊥CE，则DF=CE.可以用全等来证明，也可以看作是“一线三等角”模型的（平移）小推广。如图

第（2）问，证明方法很多，思考角度不同，入手点不同，皆可求证计算，下面提供两种比较“精巧”的解法！

方法1：解法1：过G点作HI⊥BC，容易证明：图中除了△BGI外，余下所有的直角三角形都相似！而且相似比（自身比）都是1:2：√5。如图计算，可以知道BG=BC=4，sin∠GBC=4/5.

解法2：由DC=4定，DC对着的∠DGC=90°定，知道“定弦定角必有隐圆”，如图，容易证明得到：BG和BC都是圆M的切线，由切线长相等，所以BG=BC。

连接BM，得到∠GBC=2∠MBC，而tan∠MBC=1/2,得sin∠GBC=4/5。

（如何根据tan∠MBC=1/2,来求出sin∠GBC=4/5，这里面计算方法很多，不作展开。在此留给读者朋友三种计算思路；①可以是三角函数计算，②可以是半倍角构图计算，③可以是常用三角比结论，以后我会专门写一篇文章，5种方法展示计算思路。）

第（3）问：由第二问的解法2,不难看出G点的“轨迹”是以DC为直径的半圆，连接BM与圆M相交，当G是BM与圆M的交点时候，此时BG最小，可以口算：BG=BM-r=2√5-2.

写到这里，本题算是解完了，但是“余音绕梁”“不绝于耳”，还有很多种方法，甚至可以将B点作为原点构造坐标系，将正方形ABCD放在坐标系里，解析处理。而具体的计算方法，要熟练用相似三角形，三角函数，1:2：√5的放缩计算技巧，达到好思路 快计算的解题效果。

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