数学几何的形状（数学文化函数与几何）

还记得函数概念的发展中，有一种解释是曲线吗？在17世纪时，当函数概念的认识还处于迷雾阶段时，函数就是被当作曲线来研究的。所以，后来称之为函数概念的几何起源。而且，通过各种类型的曲线引入了各种类型的函数，例如笛卡尔对于几何曲线和机械曲线的区别，引出了代数函数和超越函数的区别，等等。可以说，从函数诞生到函数的发展、应用，函数与几何就密不可分。

函数与几何紧密的关联之处是函数的图象表示。借助它，就可以建立几何性质和函数性质之间的联系，例如一条曲线“上升”与“下降”，相应地就是函数的“增”与“减”。沿着这种思路，再聊一种函数图象特征——凸与凹。

图1是二次函数的图象，在图象上任意选择两个点连成一条线段，会发现无论怎样选择这两个点，这条线段都在相应的这两点所连的函数图象的上方。

图1

这类具有“凸”出去这种图象特征的函数，称为凸函数。凸函数包括上凸函数和下凸函数，它的图象称为凸曲线。从几何观点看，下凸曲线的任意一段弧都不在这段弧所对的弦的上方；上凸曲线的任意一段弧都不在这段弧所对的弦的下方。

当然，作为一个数学概念，不可能只有图象特征作为标志，还必须有严格的定义。凸函数的数学定义如下：

设函数f(x)定义在某区间I上，对于任意的以及任意的，有恒成立，则称y=f(x)为下凸函数（如图2）。若恒成立，则称

为上凸函数（如图3）。

图2

图3

在图2和图3中，分别找到了两个常见函数：指数函数和对数函数，这两个函数分别是下凸函数和上凸函数，通过分析图象上任意两点所连线段中的某个点的横纵坐标以及和此点横坐标相同的函数图象上的点的纵坐标，结合图象可以看出这两个纵坐标的大小关系，从而能够以形象的方式反映出定义式中不等式的大小关系含义。

从图2和图3中我们能够看出，对上凸函数和下凸函数的这两个定义正是用数学语言来表述出弦AB上的任意一点都在曲线上方（或下方）这个事实的。这也反映出数学定义的严谨性和与几何直观的一致性。

在我们熟悉的函数中，幂函数，x>0，α>0,当时α>1，它是下凸函数，当0<α<1时，它是上凸函数。下面我们来具体看几个幂函数的图象吧。

继续考虑考虑二次函数。根据下凸函数的定义，能得到

对任意的是恒成立的。

如果取，可以得到

这样一个不等式。

如果取，又可以得到不等式

这就是著名的均值不等式了。

当我们认识的函数更多，就能从中找到更多的凸函数，那么借助于凸函数的性质，也能得到更多的不等式了！

从凸函数可以获得很多不等式，反之，如何判断一个函数是不是凸函数呢？

通常，有三种方法：

第一，就是用定义去判断，即函数是否满足凸函数定义中不等式的要求，当然这个有点复杂。

第二，也可以利用高等数学中微积分的方法来判断函数是不是凸函数，当然这个需要更多的微积分的知识。

第三，用信息技术作出函数的图象，通过观察图象是否满足凸曲线的特征，来判断一个函数是否为凸函数，这个方法虽然不够严谨，但是也不失为一个办法吧。

凸函数在高等数学及数学竞赛中都有广泛的应用，是继函数单调性之后刻画函数变化规律的非常重要的性质。通俗地说，单调性反映出函数的变化方向，而凹凸性体现的是函数的变化速率。而且与单调性类似，凹凸性也是可以局部反映的，比如有些函数在定义域上不是上凸和下凸函数，但是在某个区间上是上凸或者下凸的。通过函数单调性在不同的定义域的子集上的变化，我们能够引入极值的概念并应用到更多的函数研究中，相应的借助函数凹凸性在不同的定义域的子集上的变化，我们同样能够了解很多函数的有用的性质。

除了用函数的凹凸性得到不等式这个用处，还可以利用函数的性质，绘制函数图象。下面我们不妨一起来欣赏一个函数吧，例如。

图6

这是一个普通的四次函数的部分图象，从图象上的A点到D点函数都是单调递减的，看来函数似乎没有什么特别的地方[王嵘1] 。但是如果我们放大到图6并了解到凹凸性也是刻画函数的一个性质，就会发现，其实在这一段中函数的变化规律并不完全一致。根据凸函数的定义结合图象观察，函数在AB段是上凸的，而在CD段是下凸的。凭借单调性以及凹凸性，我们能更好地认识函数。大家如果感兴趣，不妨自己尝试绘制更多函数的图象，分析函数性质吧。

同样地，我们对函数的性质了解得越多，自己解题和研究时绘制的函数图象也就越精准，也就能更好地展现一个函数的特征。除了单调性、凹凸性，在绘制函数图象时，还有一种非常重要的“点”——拐点，以及一种非常有用的“线”——渐近线。但是它们的了解都需要导数的知识，如果有兴趣，你可以深入学习和探索。

数学的魅力之一就是在于它的关联性，即数学是一个整体，它具有内在的统一美。就像这里，曲线的几何特征，蕴含很多的函数性质；而认识的函数性质越多，就可以从函数到不等式，就可以更多地了解各种曲线。