线段垂直平分线的定理和判定习题（线段垂直平分线的双点可判定理）

现行中学数学教材的各版本中，线段的判定定理，作为线段垂直平分线性质定理的逆定理，没有性质定理的应用广泛，它在理论体系中的地位和解题应用中的各种功能，几乎都可以用三线合一定理来代替.要论它在理论体系中的地位和解题应用中的功能，它的重要性应该不及本文所要引入的定理.

定理：如果一条直线上有两点到线端两个端点的距离相等，那么该直线就是这个线段的垂直平分线.

该定理的意义很好理解，因为CA=CB，所以点C就在线段AB的垂直平分线上，同理点D也在线段AB的垂直平分线上，又两点确定一条直线，故而直线CD就是线段AB的垂直平分线，证明也不复杂.

如图1，已知CA=CB，DA=DB.求证：直线CD垂直平分线段AB.

求证:直线CD垂直平分线段AB.

证明：设直线CD与线段AB交于O点.

在△ACD和△BCD中，

∵AC=BC，AD=BD，CD=CD.

∴△ACD≌△BCD (SSS)

∴∠ACD=∠BCD.

在△ABC中，

∵AC=BC，∠ACD=∠BCD，

∴AO=BO，CO⊥AB，(三线合一)

故直线CD垂直平分线段AB.

直线CD是线段AB的垂直平分线，由于是由点C和点D两点所满足的条件来判定的，所以该定理可称为双点可判定理.

应用如下：

例1 如图2,AD 为∠BAC 的平分线，交BC 于点D， AE=AF，求证：直线AD垂直平分线段EF .

证明：连接DE、DF,设直线AD与线段EF 交于O点.

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.

在△AED和△AFD中，

∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD.

∴△AED≌△AFD (SAS)

∴DE=DF，又∵AE=AF,

∴直线AD垂直平分线段EF . (线段垂直平分线的双点可判定理)

例2 如图3,已知AB＝AD，BC＝DC，E是AC上一点，

求证：(1)BE＝DE；(2)∠ABE＝∠ADE.

证明：(1)连接BD,

∵AB＝AD，BC＝DC，

∴直线AC垂直平分线段BD.(线段垂直平分线的双点可判定理)

∴BE=DE.

(2)在△AED和△AFD中，

∵AB＝AD，BE＝DE，AE=AE,

∴△ABE≌△ADE (SSS)

∴∠ABE＝∠ADE.