学习数学分析对高等数学有帮助吗(数学并不只有计算)

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作者|川妈&超儿

学习数学分析对高等数学有帮助吗(数学并不只有计算)(1)

有句话说的“真好”,直戳老母亲的内心:

“如果说英语是老母亲心里的白月光,那数学真可谓是现实中的蚊子血,躲不开又逃不掉。”

奥数、珠心算、速算.....这些特别项目孩子当然可以选择不学,但从小学到大学的基础数学是怎么也躲不开的。而对我这样以数理见长的老母亲来说,对孩子学好数学又有着别样的“迷思”。

所以,一直苦心钻研各种学习方法和资源。但即使这样,我在小川的数学启蒙上还是犯了错误

估计是先前经验的惯性影响,我还是会不由自主地更加重视训练他的“计算能力”。在一段时间里,他很快就熟练掌握了100以内加减法和乘除法。

却在我认为很简单的地方,翻了跟头。之前,他对由小方块堆砌起来的立体图形,常常数不清隐含在背后的块数、辨不清立体图的三视图。

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遇到问题就得解决,查了很多资料之后,我才明白自己把数学想简单了,孩子想学好数学,需要的是多元能力。

低年级的算术,和高年级的平面几何、立体几何等高阶段的数学,需要具备的能力根本不一样!

算术要求的是语言能力,而平面、立体几何等依靠的视觉-空间能力,关键两者还互不相关!

在数学教育王者之一的新加坡,数学的技能训练(俗称刷题)被排到了最后;而以培养孩子视觉-空间能力为重点的Visual Math(视觉数学)被放在了关键位置。

它不但是孩子进行高阶数学学习的基础,也是前期数学启蒙的重要方式

1什么是视觉数学

斯坦福大学的科学家对大脑进行扫描时发现,当人在处理数学问题时,大脑有5个部分在工作,其中有两个部分跟视觉有关(绿色 橙色部分),而不仅仅是对抽象数字的理解、记忆和执行。

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视觉数学,顾名思义,就是利用一些具象化的东西,或画图,或教具来呈现数学里的抽象概念,进而学习数学的方法。这是当今非常流行的数学教学方式,在新加坡和美国数学里,都已经有大量的应用。

视觉数学包括两大块内容,分别对应大脑的两个区域,一个负责空间想象和数量统计(比如图一),一个是负责处理图象符号(比如图二)。

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图一、需要孩子大脑计算出那些肉眼可见的、以及不可见的方块,然后才能计算数量,可通过教具进行展示。

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图二、数学当中的行程问题,用图示方式展现。

其实,这些具象思维能力,孩子天生就有。没有学过加法的孩子,也能说出1个苹果 1个苹果等于2个苹果。

只不过,数学毕竟是一个抽象概念和思维的集合。我们在教孩子数学时,往往忽略了这项基础能力,而过多去追求更加抽象的计算能力。

在走了弯路之后,我开始反思自己教孩子数学的策略和方法,在依然重视锻炼孩子计算能力的同时,着力培育他的视觉-空间能力。

具体怎么做?一种方法,之前就推荐过,新加坡数学(我们的数学教学中也有,只不过他们似乎强调的更多些)倡导的建模方法。

另一种方法,早在教育学家蒙台梭利时代,就被倡议和广泛采用过的——数学教具法

教具独特的特性(科学性、针对性、可视性、完整性),特别是能够有针对性地帮助孩子理解所讲内容,一直以来在教学中发挥着重要的作用。

蒙台梭利的经典教具固然好,我又找到了一些更加有趣的新版本。为了提高针对性,我还特意买了一整套小学数学课本和义务教育阶段的数学课程标准,根据知识特点和课标要求,又在其中进行了筛选,最终选择了这几个先推荐给大家。

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2LR MathLink Cubes

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适用年龄:3岁

对应知识点和数学能力:

初级:认识数字、建立数量关系(分类、归纳、逻辑推理、手眼协调);

中级:比大小、加减法、写个数、测量;

高级:乘除、周长、面积、几何图形拼接及观察三视图(几何空间思维、逻辑推理)。

特点:循序渐进的题卡。

玩法:(因为太多了,举例说明)

1.数的理解

小学课标要求理解万以内数的意义,从十,然后过渡到百、然后到千、万这种大数。

实际教学中,也常常利用图片或教具进行教学。

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这套教具里的积木和题卡的结合,能让孩子更加容易地理解大数概念。

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2. 运算卡

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一年级这样的习题,随处可见。

运算卡的本质其实就是新加坡数学的建模方法,一方面将抽象的数学计算转化为孩子可以看得见的画图模型,更形象、更容易理解;另一方面,又将实物加减转化为有一定抽象程度的数学模型,帮助孩子实现从具象向抽象的转变。

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3.图形与几何

“题卡 积木”还可以帮助孩子掌握统计小立方块的数量、面积、周长的方法。

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小川之前在进行立体方块统计的时候,就常常用这套教具来帮他建立空间图形,加深理解。

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4.逻辑推理、归纳

类似这种归纳推理题,小学一年级频繁出现。

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也可以利用这套教具来从小培养。

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点评:

这是一套类似乐高积木的教具,囊括了从基本识数到计算、立体、逻辑推理等等广泛的学习内容。最大的有优点就是配有拾级而上的题卡,我们可以根据题卡的顺序,循序渐进地引导孩子进行数学启蒙、更高阶段的学习。

3Saalin TANGRAM七巧板

无论国内国外,从来都不缺七巧板的身影,因为它对孩子逻辑推理、几何图形的理解,实在太重要了!

国内直接把七巧板放在了小学一年级的教材里,甚至在幼升小的题目中,就有七巧板的身影。

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适用年龄:一套为3岁 (彩色,各种形状和生活用品);两套为5岁 (同种颜色的动物 彩色人物)。

对应的知识点和数学能力

数学知识:数数、大小、图形(基本:三角形、正方形、平行四边形)、角、面积、对称、旋转、平移、全等;

数学能力:几何、空间思维、逻辑推理、专注力。

特点:

1.设置关卡,循序渐进。

3岁 和5岁 ,三套教具,每套2个难度的level。

从1块的形状到7块的形状拼接和生活用品、动物拼接。

每张题卡的背后都有拼接答案。

颜色从七色过渡到单色,难度升级。

2.学习视频。每个level都对应了教学视频,方便孩子观看、学习。

3.易携带。合上是一本书,打开,左边是题卡,右边是操作版。之前小川出去吃饭的时候,常常间歇就拿出来玩。

4.不易移位。形状保持完整。

玩法:

1.对称 旋转 平移

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对于这几个知识点,1~3年级课标都有了具体的要求和实例。

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看似简单的7个基本图形,通过看似也不难的平移、旋转,却能变化出数不清的图形,考察的不仅是孩子的图形布局能力,还有逻辑推理能力等等。

我陪小川玩的过程,愈加发现其中的变化多端和深不可测,当然也有妙不可言的成就感和满足感。

2.面积 全等

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7~9年级的课标中,明确规定了全等三角形的要求:理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角。

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点评:

在每个孩子的数学几何启蒙中,七巧板是不可或缺的一个教具。这套七巧板,几乎完美吸纳了所有七巧板的优点。在家长的引导下,每个孩子,都可以玩出自己的新花样。

4Geomakers Dive into Shapes

这是一套STEM教具,更是一套妥妥的立体几何教具,对孩子空间想象能力和初步进入几何知识的学习,帮助不小。

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适用年龄:5岁 (我认为可以适当低龄,3岁 ,孩子可以进行大小的比较,面积大小的比较、周长的比较)

对应的知识点和数学能力:

数学知识:面积大小、立体几何知识、体积的概念;

数学能力:立体空间想象力、专注力、手眼协调。

特点:给我足够的点和线,我就能拼出各种形状的几何体。

1.有长短不一的直线,也有曲线。能拼接不同的立方体。

2.两种不同的球,球上有不同的孔数量,可满足不同的接点。

3.颜色丰富,符合孩子的审美特点。

玩儿法:基础玩法 创造玩法。

基础玩法:孩子可以根据游戏卡的题目,拼搭出不同形状的立方体。前期如果经过七巧板的平面图形拼搭的训练,对孩子转化立体图形拼搭会有很大的帮助。

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创造玩法:

首先,对于低龄的小孩子,可以根据平面图形的拼接,了解面积和周长的的概念,并比较其大小。

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大正方形套着小正方形,周长和面积,都是外面的大正方形大。

对于大龄的孩子,除了立体的拼搭之外,还可以开拓孩子的想象力,发掘出其他特殊形状的拼接。

点评

这款不同于封闭的立方块,它的框架性的结构对以后孩子学习立体几何辅助线的添加,会有很大的帮助。

5Base Ten STARTER SET

这套教具,可以说是一套完整的美国数学教辅——立方块 习题集。

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适用年龄:6岁 (立方块);3~6年级(习题集),我认为这套教具年龄可以下降到3岁 ,习题集可以5岁 。

对应的知识点和能力

数学知识:算术、位数的理解、分数、倍数、面积、体积;

数学能力:几何、空间思维、手眼协调。

特点:

1.跟中国的数学课标要求基本类似。

美国3-6年级教材可以顺延至中国的1-3年级。

2.立方块 习题集。非常适合学前班和小学阶段的系统性数学学习。

玩儿法:不带习题集(低龄) 带习题集(学前班 学龄段)

不带习题集玩法:里面有不同的方块,可以比较大小(顺带可以加上 >、<符号的理解),也可以归类、数数。

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带习题集玩法:按照习题集要求的知识点,在教具中具体实现。

1.大数、位数概念的学习

与上文中LR MathLink Cubes类似,就不多赘述了。但是教材中的一个关于大数习题,还是很有意思的(家长可以参照这样的方法,引导孩子学习)。

2.分数(如1/10~1,1/100~1等) 周长 面积

在小学1~3年级的数学课标对分数、周长、面积做了明确要求。

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我们可以用这套教具,结合教材,引导孩子理解分数的概念,以及分数的计算。

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点评

亮点是习题集,全英文,但比较容易理解(一边做题,一边还可以学英文)。一些习题设计的非常有意思,比如学习计算以及个十百千时,就会通过拼凑一个动物展开。

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6PRof.MaRbles

这是一款培养孩子逻辑推理和空间思维非常有意思的教具,但同时也是一个很多低龄孩子喜欢玩的玩具。

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同事家的两岁宝宝,玩的不亦乐乎,同时还在数着1、2、3、4......

适用年龄:官方建议7-99(但是我个人觉得可以放低年龄到2岁 )

对应知识点和能力:

数学知识:数数、建立数字和图形的关系、比较大小、算术、数学排列组合的最短路径问题

数学能力:逻辑推理、空间思维、专注力、规则意识

特点:

1.有游戏规则,孩子通过游戏规则找到最短路径。

在培养孩子一些数学思维能力的同时,也可以培养孩子的规则意识,理解社会上也是有规则存在的。

2.配备题卡,难度循序渐进。

玩儿法:基础玩法(低龄) 规则玩法(7岁以上)

基础玩法

1.低龄孩子可以进行数数,建立数字抽象和球一一对应关系等,来培养基本的数感。

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瓶身上标准了数字,所以引导孩子进行数概念理解的时候,这样更加方便对数字的理解,以及利用高矮,球的多少来建立数字大小的关系。

同事家竟然将其玩成了“弹溜溜球”,孩子也是玩得超级开心。

规则玩法

1.题卡,共有60道题,前面为题,背面为答案。

2.题目中,箭头前方为原始状态,箭头后为瓶的最终状态。

3.具体规则:

(1)每次倾倒球,两个条件必须满足其一:输出瓶里的球全部倒出或者接收瓶装满;

(2)最短路径,即所需要的步数最少(圆盘为步数计步器)。

视频中详细介绍了最短路径的选择,在选择过程中要经过试错、逻辑推理等能力。

在平常的考试中,最短路径问题非常常见。比如小学三年级奥数和初高中的排列组合问题。

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点评

这是一套适合训练孩子排列组合、逻辑推理能力的教具,从2步路线一直升级到18步路线,难度逐渐升级。

7BLOCK BY BLOCK(堆砌大师)

这是Thinkfun一款非常经典的教具,可以说是立体版的七巧板,利用7块不同的立方积木,组合成N种不同造型。

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小川对此特别痴迷,刚拿到的时候,常常一个人玩好久,太烧脑了!我和川爸,也常常陪他一起,燃探寻立体几何的奥秘。不过刚开始的时候,用了10分钟,也才过了2关。

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适用年龄:官方建议8岁 ,实际4岁 就可以玩(用少量的、简单的积木拼搭)。

对应知识点和能力:

数学知识:三维图向二维图转化、理解三视图、统计

数学能力:逻辑推理、空间思维、专注力、分析问题的能力

特点:

1.两种不同类型的积木——平面型和立体型。这种设计满足了立体空间搭建的基础,也满足了低龄孩子单纯用平面型来搭建。

平面型分4种:T型、L型、Z型,可以展示一个平面或者转角;

立体型有3个:转化成各种转角。

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2.易携带、棱角圆润。7个积木放在自带的收纳袋里,可以随时带着玩,旅途就是非常好的时机。

玩法:简易玩法 高级玩法

简易玩法:

(1)通过不同立体积木,可以在前期让孩子先玩平面型积木。

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用平面型积木堆起来的床

(2)在题卡的答案中,分为Hint1(4块积木提示)和Hint2(3块积木)

4~6~8岁可以根据7块积木的提示来进行搭建,或者只是根据Hint1或Hint2的部分提示进行搭建。这个搭建的过程,也是空间思维搭建的过程;

8岁 ,独立拼接。

当然孩子第一次接触的时候,因为难度比较大,也可以根据这样的顺序,循序渐进地进行。

高级玩法:

1.视觉数学的第一个板块——空间想象、数量统计,其对应的常见考题就是三视图和统计小方块。

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三视图

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统计方块个数

在这套教具中,随时可以进行上述练习,并画出二维图,加深理解。

2.根据题卡进行训练——空间 推理的实战练习。

试错 推理 返工,是常常要做的。

点评

这套教具的烧脑,可以说非常明显,但是它对孩子专注度的训练非常好。小川玩它时的专注度和挑战精神,让我有些感动。

8Geometric Solids

这是一套带领孩子认知立体形状和学习体积计算的绝佳教具。

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适用年龄:8岁 ,可以放宽年龄至4岁 ,学前班就已经开始进行立体形状的认知了。

对应知识点和能力:

数学知识:几何体的形状认知、面积关系和计算,三位图形向二维图的转化、三视图

数学能力:空间想象、计算能力、推理

特点:

1.每个几何体均在包装盒背面写明了边长长度,用于体积计算。

2.每个几何体均为敞口、透明设计,可以通过注水、装沙、做软陶模型来理解体积的概念,并比较每个几何体之间的体积大小。

3.6种颜色,符合孩子的审美。

玩法:

1.认知几何体。这在学前班和小学和初中阶段都是常见的问题。

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2.建立几何体和平面图形之间的关系。

3.理解体积的概念。在几何体里注水、做软陶模型用以理解体积概念、切面的概念、以及不同几何体的体积关系,然后进一步引导计算。

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底面积相等、高相等的情况下,圆锥体积是圆柱体积的1/3。

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切面:用软陶做模型,确认圆柱体的切面是四边形。

点评

知识点含量非常多的一套教具,这也是在美国非常受欢迎的一套教具。细节精致,颜色鲜艳,孩子一见就爱不释手。

好啦,这就是我这次推荐的7套学校教具,它对接了小学数学中一些重要的基础知识点和能力培养点。

更为关键是,它们不抽象、更不枯燥,而是用具象的二维图形、三维立体,将知识展现的淋漓尽致、生动有趣,在“寓教于乐”中潜移默化地锻炼了孩子的视觉-空间能力,培养了他们的数学能力

《美国科学院院刊》(PNAS)发表过一篇文章说:人类大脑中负责高难度数学问题的区域,与负责基本数感的区域基本相同

法国认知神经科学家 Stanislas Dehaene的研究, 更是精确定位,就是负责视觉-空间那块区域(双侧顶叶下部)!

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无论爱因斯坦一类史诗级人物的伟大发现,还是普娃计算的1 1=2,使用的是同样的大脑区域。

也就是说,我们既要呵护孩子天生的数学能力,又可以通过后天的训练来培养和提升它

而在这里,“视觉数学”的意义显得愈加非比寻常,而好的方法、好的教具也变得更加必要和重要。

P.S.

我在检索视觉数学资料时,在外网上发现了一套教材,主要是提供给教师使用的,有完整的指导手册、教案和学生活动手册等内容。

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目前涵盖了两个阶段的课程,分别面对5-6年级和6-7的学生(美国的年纪划分,我们可以适当降低标准)。有兴趣的亲们可以私信我“资料包”获得完整的资料包(全英文的)。

川妈说说

每次推荐教具、桌游等等,大家问的最多的是“团购吗?”“购买链接在哪里?”

有的时候,真的无能为力,比如两年前就推荐给大家的地产大亨。至今还有朋友留言问啥时组织团购。已经和品牌商直接、反复沟通过了,确定了,不会开团。

不是什么别的原因,只是因为价格,品牌要求我们开团的价格,比他们促销活动时价格还高!我们无法接受,所以请大家趁着618大促去孩之宝官方旗舰店看看吧,99元是我见过的最低价格(我说的是正品行货啊)。

这次可能会不同。推荐的7款教具中,Block by Block(堆砌大师)这周就会组织团购,因为品质价格都已经反复确认过;Saalin Tangram(七巧板)正确协商过程中,团购的概率比较高。

其他的,大家还想要的,点“在看”告诉我,或者留言告诉我具体看重哪些。我不能保证每个都能搞定,但一定会努力。

mom看世界:践行自然教育,追求自然养育,崇尚自然生活,期待更多的姐妹与我携手同行。对啦,目前我在“头条号、公众号”两个平台发布文章,名字均为【mom看世界】,欢迎关注。

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