延期年金现值公式理解 增长型年金现值的计算

接上一篇文章

例4：某教育基金打算为山区小学提供20年的教育补助，年末支付给山区小学10万元，并且该资金以每年5%的增长率增长，比如第2年年末需要支付10.5万，而该教育基金的投资回报率（贴现率）为10%，那么请问该教育基金目前需要准备多少钱？

该题案例属于增长型年金求现值，可以代入相应的公式（公式的推导这就不阐述了）。

其中公式C为第1年支付金额，r为投资回报率，g为年金增长率，t为支付期限，公式表现为两种形式：

当r≠g；PV=C/(r-g)*{1-[(1 g)/(1 r)]^t}

当r=g；PV=t*C/(1 r)

因为题文r≠g，所以将数值代入公式PV=C/(r-g)*{1-[(1 g)/(1 r)]^t}=121.2080万元。

这么难记的公式谁去记它？所以，要求该现值，我们可以反推回去，通过Excel普通年金求得第二年现值，再求得当前现值。

这里需要分三步来走：

1、求第二年年末支付金额：10万*105%=10.5万。

2、求第二年年初现值（将增长年金转为普通年金）：因为投资回报率为10%，而支付增长率为5%，那么一边按比例流入，一边按比例流出，相较于本金而言，实际投资回报率为r-g=10%-5%=5%（类同以对冲掉通货膨胀率后的实际收益率）。也就是说，从第2年到第20年就变成类同于养老金的领取（如上文Excel的PV函数求得），在未来的19年中，由增长型年金转化为普通年金，那么第2年年初的现值（或需要准备的资金，如下图求得）为1332407元。

3、求当前现值（第1年年初现值）：因为支付是期末支付（或者说第2年年初支付，第1年年末的终值等于第2年年初的现值），而第1年年末相较于年初已经通过投资获得10%的收入，那么根据FV=PV*(1 r)的公式，PV=FV/110%=1332407/110%=121.1208万，与前文的计算结果是一致的。

例5：某增长型永续年金的理财保险，第1年的分红为3000块钱，并以每年3%的速度增长下去，贴现率为6%（也可以理解为收益率为6%），那么该产品的现值是多少钱？或者说该投入多少钱？

这里可以将增长型永续年金分解为增长和永续两步来走：

1、增长型年金：分红是现金流的流出，贴现率或者投资回报率相较于本金是现金流的流入，一边是3%的流出，一边是6%的流入，那么它的实际增长率为6%-3%=3%（类同上文增长型年金的第2步）。

2、永续年金：实际就是本金不动，现金流的流出来自于投资收益（或利息），根据上文永续年金的计算方式：PV=C/r=利息（或收益）/利率（或收益率）。

由第一步计算可知，该保险在扣除现金流流出增长率后，实际收益率就是3%，那么它的现值就是3000/3%=10万——即增长型永续年金现值的公式为：PV=C/(r-g)。

也就是说，只需要投入10万块钱，按照投资回报率6%计算，第1年就可以拿到3000块钱的分红，第2年可以拿到3000*（1 3%）=3090元，第三年……以此类推，明年是今年拿到分红的1.03倍，可以永久性拿到增长的分红。