守株待兔会成为笑柄的原因（能否科学地守株待兔）

金虎奔腾辞旧岁，玉兔欢跃迎新春，转眼间春节假期就已经离我们远去了在这个“美好时刻”里，笔者忍不住想起了“守株待兔”的故事——

宋人有耕者。田中有株，兔走触株，折颈而死。因释其耒而守株，冀复得兔。兔不可复得，而身为宋国笑。

——《韩非子·五蠹》

”作为一个打工人，此刻不免有个疑问，有没有可能科学、合理、可持续地守株待兔，而不会像寓言里的那位宋国人一样遭人嘲笑呢？

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简单情况：某次试验成功的概率分布

为了方便研究，我们抽象化问题的表述。假设宋国人某段时间守株待兔成功的几率为p，显然这一段时间在树下一无所获的概率为 q = 1 - p，其中 0 ≤ p ≤ 1。对于这种只有两种结果的单次随机试验，我们又称为“伯努利试验”，由数学家雅各布·伯努利提出。（为抢C位，这个史上第一数学天团都经历了哪些内部纷争？ ）

根据上面伯努利试验的设定，我们可以得出对应的概率分布，即伯努利分布，又称两点分布或者0-1分布。

概率分布

所谓概率分布，指的是随机变量的概率性质。两个随机变量具有同样的分布时，我们无法用概率来区别它们。不严谨地讲，概率分布就是在统计图中用横轴表示数据的值，用纵轴坐标表示横轴对应数据的概率。而横轴纵轴之间的对应关系，就是所谓的“概率函数”。

对于离散随机变量，其对应概率质量函数（probability mass function, pmf, 如上图；对于连续随机变量，其对应概率密度函数（probability density function, pdf，如下图）。

很显然，伯努利分布是一个离散型概率分布，根据定义我们可以得到其pmf

如果取p = 0.3，我们可以得到函数图象

同时我们也可以求得伯努利分布的数学期望

数学期望

在统计学中，数学期望即随机试验在同样情况下重复无穷多次，所有可能状态趋近的结果。对于离散随机变量而言，其数学期望是试验中每次可能结果乘以其结果对应概率的和，即

譬如，掷一枚六面骰子，点数的数学期望E(X) = 1/6 × 1 1/6 × 2 1/6 × 3 1/6 × 4 1/6 × 5 1/6 × 6 = 21/6 = 3.5。

结论其实非常显而易见，即如果兔子撞树的概率是p，寓言中宋国人某次“试验”中捡到兔子的数学期望就是p。

n次独立试验：多次守株待兔的情况

按照寓言的设定，宋人“因释其耒而守株，冀复得兔。”为了简化问题，我们假设兔子撞树属于独立事件，也就是说其他兔子并没有因为之前的事件意识到超速的危害，也没有将事故现场标记为事故多发路段。

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很显然，多次守株待兔问题的本质其实就是n次独立的伯努利试验中成功的次数的离散概率分布。同样地，继续假设宋国人某次守株待兔成功的几率为p，宋人一共“守株”n次，其中k次成功，那么结合前面伯努利分布的结论，我们可以得到新的pmf

其中

读作“n取k”，即二项式系数（二项式定理各项的系数），所以n个独立的是/非试验中成功次数k的离散概率分布又被称为二项分布。

二项式系数的直观展示——帕斯卡三角/杨辉三角 三角形第n层（第1行定义为第0层，以此类推，第n 1行即第n层）正好对应于二项式(a b)n展开的系数。例如第2层1、2、1为(a b)2展开形式a2 2ab b2的系数。 图片来源：Wikipedia

这里有必要稍微复习一下二项式系数“n取k”。除了上面的记法，“n取k”还可以写作下面这些形式

所以这其实只是一个中学的知识点，“n取k”即从n个不同元素中取出k个元素的方法数，觉得生疏的同学可以复习中学排列组合相关课程。那么回到上面介绍的二项分布的pmf

绿色部分代表前一节所述的伯努利试验的pmf，红色部分可以理解为我们希望在n次试验中有k次成功，但这k次成功可以发生在总共n次试验中的任意位置。

二项分布的概率质量函数（pmf）。图中横坐标为k，纵坐标是对应的概率。显然p和n不同，pmf的形状也会改变。

由于二项分布本质上就是n次伯努利试验的结果，所以二项分布的数学期望等于n倍的伯努利分布的数学期望，即np，记作λ。

真实情景：“守株待兔”试验成功的概率

经过了之前的铺垫，下面让我们来讨论真实的场景，即我们如果亲自去守株待兔会有怎样的结果。故事的结局里，宋国人终日守在树旁（即试验次数n很大），但“兔不可复得，而身为宋国笑”。我们以此作为样本可知，兔子撞到树上的概率是非常低的（概率p非常小）。

朱迪警官为大家亲自示范兔子的灵敏程度 图片来源：YouTube

我们考虑极限情况，令n趋近于无穷（n是试验次数，“趋于无穷”描述了守株待兔过程中“终日守在树旁”的状态）。那么，上一节中的二项分布可以写作

此处我们代入上一节中二项分布的期望值λ = np，即p = λ/n。为了后面计算的方便，这里我们引入自然常数e的定义

代入上面式子，之后的计算就显而易见啦——

综上所述，我们得到了真实情况下的概率质量函数pmf，也就是著名的泊松分布。上面计算说明，当试验的次数趋于无穷大，而λ = np不变时，二项分布收敛于泊松分布。

西梅翁·德尼·泊松（1781-1840），法国数学家、几何学家和物理学家。泊松是著名数学家拉格朗日和拉普拉斯的学生，其研究覆盖了当时数学几乎各个方向。中学课本上泊松光斑的故事说的就是他的故事。为了推翻光的波动理论，泊松计算发现在波动说的前提下，用一个圆片作为遮挡物时，光屏的中心应出现一个亮斑。结果菲涅耳和阿拉戈精心设计了一个实验，确认了这一亮斑的存在，反而成为了支持波动说的强有力证据。 图片来源：Wikipedia

当然，只是看数学公式可能有些抽象，所以让我们直接上图。

图像为泊松分布的pmf。参数λ可以用样本的均值来近似。简单地说，将宋人守株待兔的时间划分成无数份，其中λ次等到了兔子撞树。横轴代表k，也就是我们如果去守株待兔，事件（等到兔子）发生次数。纵坐标则代表在上述λ的前提下，实际等到0，1，2 ，......，50只兔子的概率。显然，泊松分布以λ为中心，且λ越大，越接近正态分布。

《理 想 情 况》图片来源：Giphy

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。比如汽车站台的候客人数、放射性原子核的衰变数等之类的事件。值得一提的是，在“守株待兔”的故事中，“兔不可复得”，可见样本的估计值是很低的，我们假设λ小于0，可以得到如下图像

可见即使令λ = 0.1，能等到两只兔子的概率都趋近于0。所以指望守株待兔发家致富是不太可能的。当然要得到严谨的结论，我们还可以计算一下泊松分布的数学期望，不过需要用到一点点大一的数学知识（泰勒展开）。

所以泊松分布的数学期望实际上就等于λ。如果实际中宋国人每蹲守1000次才能等到一只兔子（笔者怀疑这是不是也太过于乐观了），那么守株待兔数学期望E(守株待兔) = 0.001。

综上所述,建议屏幕前的朋友们开工之后一定要认真地工作学习，毕竟天上掉馅饼的概率极小，而且很可能也不太好接——

图片来源：Giphy

作者：铸雪

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