怎样解释加法交换律(为什么加法有交换律)

A QUARK

扯闲篇儿

怎样解释加法交换律(为什么加法有交换律)(1)

上周我们讲了皮亚诺公理,这周继续讲讲加法交换律

怎样解释加法交换律(为什么加法有交换律)(2)

数学归纳法

怎样解释加法交换律(为什么加法有交换律)(3)

数学归纳法就是皮亚诺第五公理,它是这么写的

公理5:假定P(n)是自然数的一个性质,如果P(0)是对的,且假定P(n)是正确的,则P(n')也是真的,那么命题对所有自然数都为真。

为什么可以这么说呢,根据前几个公理,自然数是以0为起点,一个接一个的。如果假定n有某个性质时,可证n'也有此性质。能证明0有这个性质,那么就可以证明0'也有此性质,0''也有,0'''也有,就能证明所以自然数都有这一性质。

怎样解释加法交换律(为什么加法有交换律)(4)

2

开始证明之前,回顾一下我们对于加法的定义:

定义加法是满足以下两种规则的运算:

1. 对于任意自然数m,0 m = m

2. 对于任意自然数m和n,n' m = (n m)'

与大上周一样,

这次的证明也分

怎样解释加法交换律(为什么加法有交换律)(5)

一,证明:

对自然数m,m 0=m

已知0 m=m但并不能由此直接得出m 0=m,我们还并不知道加法交换律。我们可以用数学归纳

∵0 m=m;0是自然数

∴0 0=0

现假定n 0=n

根据加法定义

n' 0=(n 0)'=n'

∴对任意自然数m,均有m 0=m

证毕

二,证明:

对任意自然数n和m,n m'=(n m)'

依然用数学归纳法

对n进行归纳,当n=0时

根据加法定义

0 m'=(0 m)'

假定n m'=(n m)',

求证n' m'=(n' m)'

根据加法定义

n' m'=(n m')'=[(n m)']'

(n' m)'=[(n m)']'

∴n' m'=(n' m)'

证毕

三,证明:

对任意自然数n和m,n m=m n

对n进行归纳,

首先考虑当n=0时,

0 m=m,m 0=m

∴0 m=m 0成立,

假设n m=m n成立

求证:(n') m=m (n')

∵n m=m n

(假设)

∴(m n)‘=(n m)’

(皮亚诺公理4)

∵n‘ m=(n m)’

(加法定义)

m n‘=(m n)’

(证明2)

∴n‘ m=m n’

∴对任意自然数n、m,均有n m=m n

证毕

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关注夸克欧氏几何

Don't worry. Be happy!

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