图形表征的方式(多元表征解决问题)

宋秀云(江苏省新海高级中学)

摘要:多元表征可以使数学学习对象多角度具体化,加深我们对同一数学对象的认识。在问题解决中应恰当地对问题进行多角度表征,并且善于在各种表征之间进行转换。这不仅使数学问题解决变得更加容易,并且在解法的多样化中能加深学生对概念的理解。对于如何提高学生运用多元表征解决问题的能力,给出若干建议。

关键词:多元表征;图形表征;符号表征;问题解决;数量积

一、问题提出

一般地,表征是指信息在心理活动中的表现和记载的方式。因此,表征一方面反映客观事物,代表客观事物;另一方面,又是心理活动进一步加工的对象。表征的方式不同,大脑对它的加工过程也不相同。在数学领域,多元表征一般是指数学学习对象的多种表征形式。希尔伯特指出,数学是一个不可分割的有机整体,它的生命力正在于各个部分之间的联系。数学最为迷人之处是不同分支之间的许多相互影响,预想不到的联系,有时会奇迹般展现在你面前。从不同的角度对同一数学对象进行多元表征,可以使数学学习对象多角度地具体化,加深我们对同一数学对象的认识。

多元表征不仅适用于数学概念的学习,而且普遍存在于数学问题解决中。一般而言,数学问题解决包括三个要素:问题条件、解题思想方法、策略与结论扩展。从多元表征的视角来说,这三个要素都可以多元表征化。例如,单墫指出,算两次在数学解题中是非常常见的手法。“算两次”即用两种方法计算同一个量,或换一个角度看问题,其实质是将同一个量从两个不同的角度计算两次,利用殊途同归的等量关系达到问题解决的目的。例如,立体几何中求距离常用等积法、解析几何中求动点轨迹用交轨法等,都属于解题方法的多元表征体现。

总之,观察问题的视角不同、解题的思想方法不同、解题策略的转换与转译以及问题本身呈现的形式不同等,这些都说明了数学问题解决学习中的多元表征无处不在。下面以一道高考题的多角度解决为例,说明多元表征这种认知学习方法对数学解题教学的意义。

图形表征的方式(多元表征解决问题)(1)

图形表征的方式(多元表征解决问题)(2)

图形表征的方式(多元表征解决问题)(3)

图形表征的方式(多元表征解决问题)(4)

图形表征的方式(多元表征解决问题)(5)

图形表征的方式(多元表征解决问题)(6)

图形表征的方式(多元表征解决问题)(7)

图形表征的方式(多元表征解决问题)(8)

图形表征的方式(多元表征解决问题)(9)

三、教学建议

数学问题解决的第一步就是对问题进行表征,表征方式的恰当与否直接决定了问题能否解决。一个恰当的问题表征一般应该满足三个条件:(1)表征与问题的真实结构相对应;(2)表征中的各个问题成分被恰当的结合在一起;(3)表征结合了问题解决者的其他知识。因此,选择与转换不同的表征方式是提高问题解决成功率的关键策略。文[3]的调查表明,高中学生解题障碍的一个重要原因就是对问题不能做出适宜的表征,不能在多种表征之间进行转换。对于如何提高学生运用多元表征进行问题解决的能力,笔者认为以下几点值得重视。

1.重视样例教学

哲学家库恩指出,学生正是通过学习范例,通过做习题等活动来掌握一门科学知识及其方法的,没有范例,科学知识不能清楚地表达出来,也无法为人们掌握;没有范例,人们就无法从按照该门科学的要求去解决任何问题,数学当然也不例外。笛卡尔也指出,我所解决的每一个问题,都将成为一个范例,以用于其他的问题。由于问题表征是一种程序性知识,很难言传,必须借助典型样例使其显性化,所以教师应该精心设计样例,让学生从样例中学习,掌握很多具体的实例,才能真正地理解抽象的内容,才能真正地感知数学,再经过不断反复练习,使其系统化、自动化,解题时才能轻松自如。当然这里所说的样例、练习也不能无限扩大为“题型 技巧”的题海模式。

2.训练学生借助外在表征的习惯

数学问题的外在表征分为文字表征、符号表征、图形表征等。从本案例可以看出,在多种表征之间进行有效转换对解题是极为关键的。要培养学生借助外部表征进行问题表征的习惯,首先要让学生认识到问题表征在解题中的重要性,强调审题的决定性,拿到问题不要急于去制定计划,应反复审明题意,进而恰当表征问题。

其次,在知识的讲授过程中,要注意概念的发生、发展过程,尽可能用不同方式对知识进行表征。例如,函数的单调性就应从图形表征(函数图象)、文字表征(语言)、符号表征(数学符号)这三个维度来进行刻画,使学生对概念的认识变得立体,进而在解决较复杂问题时能进行各种表征之间的有效转化,找到解题突破口。

3.提高学生的元认知技能

元认知技能就是个体对自身的认知过程进行监督、调节和协调的能力。具有较好元认知技能的学习者,能自动地控制和掌握自己的认知过程,他们在面临新的问题时,能主动寻求当前问题与已有经验之间的联系,并运用已有经验对当前问题进行分析概括,寻求表征问题的策略,这方面可以采取的有效方法是利用波利亚解题表中的提示语(如表1),帮助学生对数学问题进行表征。

表1:

提示语备注
你理解题目中的有关概念,术语吗?初始表征
此题的关键是什么?抓住关键词,寻找突破点
是否应当引入适当的符号?符号表征
能用不同方式来叙述问题吗?在不同表征之间进行转换
能用图形表示问题吗?图形表征

参考文献

[1]徐章韬。多元表征学习视角下的线性回归方程的多角度推导[J].中学数学研究,2011(11):1-3。

[2]孙卫。基于多元表征理论的解题反思能力培养[J].上海中学数学,2013(1/2):8-9。

[3]王坤。培养高中生数学问题表征能力的教学探索[D].南京:南京师范大学,2004。

[4]唐剑岚。数学多元表征学习的认知模型及教学研究[D].南京:南京师范大学,2008。

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