等腰三角形平行线图解（基本图形分析法）

当几何问题中出现了两条具有公共端点且不在一直线上的相等线段时，无论它们是在条件中出现还是在结论中出现，就应萌发应用等腰三角形的基本图形进行证明的意识。然后就应将这两条具有公共端点的相等线段组成等腰三角形，如果图形中尚未出底边的，就应将底边添上。接下来就应应用等腰三角形中两条边相等和相对应的两个角相等之间的等价关系，将要证明的结论转化为要证明它的等价性质，或者由条件直接推得它的等价性质成立。若图形中出现了等腰三角形顶角的外角时，则应将两内角之间的相等关系转化为等价的外角与不相邻的内角之间的倍半关系来进行证明。

例1 如图3-17，已知：等边△ABC中，BD⊥AC垂足是D，延长BC到E，使CE=CD，求证：DB=DE。

图3-17

分析：本题要证明的结论DB=DE，是两条具有公共端点的相等线段，它们可以组成一个等腰三角形的基本图形（如图3-18），从而就成为一个等腰三角形的判定问题。于是问题就可转化为证明DB=DE的等价性质∠DBE=∠E。由于条件给出△ABC是等边三角形，且BD⊥AC，所以BD是∠ABC的角平分线，而∠ABC是等边三角形的一个内角，应等于60°，所以∠DBE=1/2∠ABC=1/2×60°=30°，这样问题就成为要证∠E也等于30°。

图3-18

又因为条件中还给出CE=CD，这也是两条具有公共端点C的相等线段，它们也可以组成一个等腰三角形的基本图形，又因为E、C、B成一直线，出现了这个等腰三角形顶角的外角，所以可得∠ACB=2∠E，而∠ACB是等边三角形的一个内角，也等于60°，所以∠E=30°就可以证明，分析也就可以完成（如图3-19）。

图3-19

例2 如图3-20，已知：△ABC内接于⊙O，D是AB延长线上的一点，且AD=AC，E是AC上的一点，且AE=AB，过D、E的直线角⊙O于F、G，求证：AF=AG。

图3-20

分析：本题要证明的结论AF=AG是两条线段公共端点A的相等线段，所以可组成等腰三角形，是一个等腰三角形的判定问题，于是就可以转化成为要证AF=AG的等价性质∠ AFG=∠G（如图3-21）。

图3-21

由于在⊙O中，∠G是一个圆周角，所以可以应用圆周角的基本图形的性质进行证明，由于图形中出现了A、F、C、G四点共圆，∠G所对的弧ABF所对的另一个圆周角尚未出现，所以应先将这个圆周角添上，于是连接FC（如图3-22），可得∠G=∠ACF，问题就转化为要证∠AFG=∠ACF。

图3-22

由于条件中给出D、F、G成一直线，所以要证明的性质中的∠AFG就可以看成是△ ADF的一个外角，所以∠ AFG=∠D ∠DAF，这样∠ACF也就应看成是两个角之和，根据图形我们可以发现∠ACF=∠ACB ∠BCD。比较这两个关系，我们又可以发现由于A、B、F、C四点共圆，所以再应用一次圆周角的基本图形的性质可得∠DAF=∠BCF，那么问题进一步转化为只要证∠D=∠ACB。

由条件AD=AC，AE=AB，它们是两组具有公共端点的相等线段，且它们分别所夹的角是同一个角，所以这两组相等线段可以看作是位于一个等腰三角形的轴对称部分，从而就可以应用一次轴对称型的全等三角形进行证明，于是有上述两边夹角对应相等的条件，就可以证明△ADE≌△ACB。所以∠D=∠ACB就可以证明（如图3-23）。

图3-23