关于如何学习函数的数学问题（从一个神奇的数学函数中）

数学家使用“魔术函数”来证明两个高度对称的晶格可以解决 8 维和 24 维持空间中的无数问题

2016 年，位于洛桑的瑞士联邦理工学院的Maryna Viazovska发现了在 8 维和 24 维持空间中最密集的方法，让数学家眼花缭乱（与四位合著者合作） . 三年后，她和她的合著者证明了更引人注目的事情：解决这两个维度中的球堆积问题的配置也解决了无数其他关于试图相互避开的点的最佳排列的问题.

这些点可以是无限的电子集合，例如，相互排斥并试图进入最低能量配置。或者这些点可以代表溶液中长而扭曲的聚合物的中心，试图定位它们自己，这样它们就不会撞到它们的邻居。有许多不同的问题，并且不清楚为什么它们都应该具有相同的解决方案。在大多数维度上，数学家都不相信这是真的。

但是维度 8 和维度 24 都包含一个特殊的、高度对称地配置，我们现在知道，它同时解决了所有这些不同的问题。用数学语言来说，这两种配置是“普遍最优的”。

这一全面的新发现极大地概括了维亚佐夫斯卡和她的合作者以前的工作。“烟花并没有停止，”匹兹堡大学的数学家Thomas Hales说，他在 1998 年证明了熟悉的橙子金字塔堆叠是在三维空间中包装球体的最密集方式。

8 和 24 现在加入维度 1，成为唯一已知具有普遍最优配置的维度。在二维平面中，有一个普遍最优的候选者——等边三角形格——但没有证据。与此同时，第三维是一个动物园：不同地点配置在不同的情况下更好，对于某些问题，数学家甚至无法很好地猜测最佳配置是什么。

普罗维登斯布朗大学数学家理查德施瓦茨 说：“你改变维度或稍微改变问题，然后事情可能完全未知。” “我不知道为什么数学宇宙是这样构建的。”

证明普遍最优性比解决球堆积问题要困难得多。这部分是因为普遍最优性同时包含无限多不同的问题，但也因为问题本身更难。在球体堆积中，每个球体只关心其最近邻居的位置，但对于像在空间中散射的电子这样的东西，每个电子都与其他电子相互作用，无论它们相距多远。“即使考虑到早期的工作，我也不会期望这个[普遍最优性证明]能够做到，”海尔斯说。

“我印象非常非常深刻，”纽约大学的数学家西尔维娅·瑟法蒂 ( Sylvia Serfaty ) 说。“它处于 19 世纪数学大突破的水平。”

8 维和 24 维的行为与 7 维、18 维或 25 维的行为不同，这似乎很奇怪。但数学家早就知道，将物体打包到太空中在不同的维度上的工作方式不同。例如，考虑一个高维球体，简单地定义为距中心点一定距离地点的集合。如果将球体的体积与适合它的最小立方体的体积进行比较，随着维度的增加，球体填充的立方体越来越少。如果你想在尽可能小的盒子里运送一个东西 8 维足球，那么这个球将只占盒子体积得不到 2%——其余的都是浪费的空间。

在高于三的每个维度中，都可以构建类似于金字塔橙色排列的配置，并且随着维度的增加，球体之间的间隙也会增加。当你到达八维时，突然有足够的空间将新的球体放入间隙中。这样做会产生一个高度对称的配置，称为 E8 晶格。同样，在 24 维中，Leech 晶格是通过将额外的球体安装到另一个众所周知的球体填充的间隙中而产生的。

由于数学家不完全理解的原因，这两个格子一个接一个地出现在数学的每一个领域，从数论到分析再到数学物理。“我不知道所有事情的一个根本原因，”新论文的五位作者之一，位于马萨诸塞州剑桥市的微软新英格兰研究院的 亨利·科恩 ( Henry Cohn ) 说。

十多年来，数学家们有强有力的数字证据表明 E8 和 Leech 晶格在各自的维度上是普遍最优的——但直到最近他们才知道如何证明这一点。然后在 2016 年，Viazovska 迈出了第一步，证明这两个晶格是最好的球体填充物（她加入了 Cohn 和新论文的其他三位作者：Abhinav Kumar、Stephen Miller罗格斯大学和德国波恩马克斯普朗克数学研究所的 Danylo Radchenko ）。

Hales 对 3D 案例的证明长达数百页，需要大量的计算机计算，而 Viazovska 的 E8 证明只有 23 页。她的论点的核心涉及识别一个“神奇”函数（数学家已经开始称之为），它提供了黑尔斯所谓的“证明”，即 E8 是最好的球体填料——一个可能很难提出的证据，但是一旦找到，就会立即定罪。例如，如果有人问您是否有任何实数x使多项式x 2 – 6 x 9 为负数，您可能很难回答。但如果你意识到多项式等于 ( x – 3) 2，您会立即知道答案是否定的，因为平方数永远不会是负数。

维亚佐夫斯卡的魔法函数方法很强大——事实上，几乎太强大了。球堆积问题只关心附近电子之间的相互作用，但维亚佐夫斯卡的方法似乎也适用于长程相互作用，比如远距离电子之间的相互作用。

为了证明空间中点的配置是普遍最优的，必须首先指定所讨论的宇宙。没有一个点配置对于每一个目标都是最优的：例如，当一个吸引力作用在点上时，最低能量的配置将不是某个晶格，而只是一个巨大的堆积，所有点都在同一个点。

维亚佐夫斯卡、科恩和他们的合作者将他们的注意力限制在排斥力的宇宙上。更具体地说，他们考虑的是完全单调的，这意味着（除其他外）当彼此靠近时排斥力更强。这个广泛的家族包括许多在物质世界中最常见的力量。它包括反幂律（例如带电粒子的库仑平方反比定律）和高斯曲线，即捕捉具有许多基本独立排斥部分（例如长聚合物）的实体行为的钟形曲线。球体堆积问题位于这个宇宙的外缘：

对于这些完全单调的力量中的任何一个，问题就变成了，对于无限的粒子集合，最低能量配置——“基态”是什么？2006 年，Cohn 和 Kumar开发了一种方法，通过将能量函数与具有特别好的特性的较小“辅助”函数进行比较，来找到基态能量的下界。他们为每个维度找到了无限的辅助函数，但他们不知道如何找到最好的辅助函数。

在大多数维度上，科恩和库马尔发现的数值界限与最著名的配置的能量几乎没有相似之处。但在 8 维和 24 维中，边界惊人地接近 E8 和 Leech 晶格的能量，因为 Cohn 和 Kumar 尝试了他们的方法。很自然地想知道，对于任何给定的排斥力，是否可能存在一些完美的辅助函数，可以给出与 E8 或 Leech 晶格的能量完全匹配的边界。对于球堆积问题，这正是 Viazovska 三年前所做的：她通过查看一类称为模形式的函数，找到了完美的“神奇”辅助函数其特殊的对称性使其成为几个世纪以来的研究对象。

当涉及到其他排斥点问题时，例如电子问题，研究人员知道每个魔法函数需要满足哪些属性：它必须在某些点具有特殊值，以及它的傅里叶变换——测量函数的自然频率——需要在其他点采用特殊值。一般来说，他们不知道这样的功能是否真的存在。

构造一个在您最喜欢的点上执行您想要的功能的函数通常很容易，但同时控制一个函数及其傅里叶变换却非常棘手。“当你将自己的意志强加给其中一个时，另一个人会做与你想要的完全不同的事情，”科恩说。

事实上，这种挑剔无非就是变相的物理学中著名的不确定性原理。海森堡的不确定性原理——它说你对一个粒子的位置了解得越多，你对它的动量了解得越少，反之亦然——是这个一般原理的一个特例，因为粒子的动量波是它的位置的傅里叶变换海浪。

对于 8 或 24 维的排斥力，Viazovska 做了一个大胆的猜想：团队想要对其魔法功能及其傅里叶变换施加的限制恰好位于可能与不可能之间的边界上。她怀疑还有更多的限制，这样的功能就不可能存在了。限制更少，并且可以存在许多功能。她建议，在团队关心的情况下，应该有一个合适的功能。

“我认为，这是玛丽娜的一大优点，”科恩说。“她非常有见地，也非常大胆。”

当时，科恩持怀疑态度——维亚佐夫斯卡的猜测似乎好得令人难以置信——但团队最终证明了她的正确性。他们不仅证明了每种排斥力都存在一种魔法功能，而且还给出了制造方法。与球体填料一样，这种结构立即证明了 E8 和 Leech 晶格的最优性。“这是一个不朽的结果，”施瓦茨说。

除了解决普遍最优性问题之外，新的证明还回答了自三年前维亚佐夫斯卡解决球堆积问题以来许多数学家一直在思考的一个棘手问题：她的魔法函数到底是从哪里来的？“我想很多人都感到困惑，”维亚佐夫斯卡说。“他们问，‘这里的意思是什么？’”

在新论文中，Viazovska 和她的合作者表明，球体填充魔法函数是一系列模块化构建块中的第一个，可用于为每个排斥力构建魔法函数。“现在它有很多兄弟姐妹，”维亚佐夫斯卡说。

对科恩来说，一切都进行得如此顺利，这仍然让科恩感到有些不可思议。“数学中有些事情是靠坚持和蛮力来完成的，”他说。“然后有时就像数学想要发生一些事情一样。”

下一个自然的问题是这些方法是否可以适用于证明唯一的其他明确候选者的普遍最优性：二维平面中的等边三角形晶格。纳什维尔范德比尔特大学的数学家 爱德华·萨夫 ( Edward Saff ) 说，对于数学家来说，没有人在这种简单的环境中提出证据这一事实“让整个社区感到非常尴尬” 。

与 E8 和 Leech 晶格不同，二维三角形晶格在自然界中无处不在，从蜂窝结构到超导体中的涡流排列。基于大量的实验和模拟，物理学家已经假设这种晶格在广泛的环境中是最优的。但是，科恩说，对于为什么三角晶格应该是普遍最优的，没有人有概念上的解释——数学证明有望提供这一点。

维度 2 是除 8 和 24 之外的唯一维度，Cohn 和 Kumar 的数值下限在其中运行良好。这有力地表明，在第二维中也应该存在魔法函数。但该团队构建魔法函数的方法不太可能延续到这个新领域：它在很大程度上依赖于这样一个事实，即 E8 中的点与 Leech 晶格之间的距离是特别表现良好的数字，而在第二维中并非如此. 科恩说，那个维度“现在似乎超出了人类的能力”。

目前，数学家正在庆祝他们对 8 维和 24 维空间的奇异世界的新见解。施瓦茨说，这是“我一生中可能会看到的最好的事情之一。”