中考平行四边形压轴真题（中考压轴题之平行四边形存在性难题）

平行四边形作为特殊的四边形，一直是中考试题中的主角。尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高。此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想。学生在处理问题的时候，往往不能正确分类，导致漏解。

A.解题攻略

1、巧用"中点坐标公式"求解中考数学题中"平行四边形存在性"问题

数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可以帮助学生来研究总结，并把它作为解题的切入点。

2、平行四边形对角线互相平分的妙用

在解题时一般需要添设辅助线，借助平行四边形的对角线性质，来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径

即平行四边形每条对角线上两个顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和也相等。根据这个结论就可简洁地解决平面直角坐标系中平行四边形存在性问题。

解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．

B.典型问题

类型1 三定点，一动点

基本知识：

（1）若A、C点的坐标分别A（﹣1，3）、C（3，﹣1），写出AC中点M的坐标 ；

方法提炼：

（2）如图②，在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣1，5）、（﹣2，2）、（3，3），求点D的坐标；

（3）如图③，点A是反比例函数y＝8/x（x＞0）上的动点，过点A作AB∥x轴，AC∥y轴，分别交函数y═2/x（x＞0）的图象于点B、C，点D是直线y＝2x上的动点，请探索在点A运动过程中，以A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由．

【解析】（1）直接根据中点坐标公式求解即可得出结论（1，1）；

（2）先利用中点坐标公式求出线段AC的中点坐标N，再用平行四边形的对角线互相平分，判断出线段BD的中点也是N，即可得出结论D（4，6）

（3）设出点A坐标，进而表示出B，C的坐标，再设出点D坐标，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式即可得出结论．

∵点A在反比例函数y＝8/x（x＞0）上，∴设A（a，8/a）（a＞0），

∵AB∥x轴交函数y═2/x（x＞0），∴B（a/4，8/a），

∵AC∥y轴交函数y=2/x（x＞0），∴C（a，2/a），

∵点D是直线y＝2x上的动点，∴设点D（d，2d），

假设以A、B、C、D为顶点的四边形能为平行四边形，

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了平行四边形的性质，理解和应用中点坐标公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．

类型2 二定点，二动点

如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．

2．（2019•金牛区校级模拟）如图，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标轴上，B（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．

（1）直接写出直线DE的解析式；

（2）若反比例函数y＝m/x（x＞0）的图象与直线MN有且只有一个公共点，求m的值；

（3）在分别过M，B的双曲线y＝m/x（x＞0）上是否分别存在点F，G使得B，M，F，G构成平行四边形，若存在则求出F点坐标，若不存在则说明理由．

【解析】（1）将点D，E的坐标代入y＝kx b即可求出DE的解析式y＝﹣1/2x 3；

（2）联立直线MN解析式与反比例函数解析式，联立①②化简得，x2﹣6x 2m＝0，△＝36﹣4×2m＝4（9﹣2m）＝0，∴m＝9/2；

（3）分别求出两条双曲线的解析式，设出点F，G的坐标，利用平行四边行的性质对边平行且相等及对角线互相平分，即可求出点F的坐标．需要注意的是，任意两点的连线可能是四边形的一条边或者对角线，我们需要分情况来讨论。

∵四边形OABC是矩形，∴AB∥OC，AB＝OC，

∵B（4，2），∴点M的纵坐标为2，N的横坐标为4，

∵点M，N在直线DE：y＝﹣1/2x 3上，当y＝2时，﹣1/2x 3＝2，

∴x＝2，∴M（2，2），

当x＝4时，y＝1，∴N（（4，1），

【点评】本题考查了待定系数法求解析式，一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质，平行四边形的性质，解题的关键是要会利用平行四边形对角线互相平分这一性质构造方程组．

3．（2018秋•亭湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x² bx c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

【解析】（1）由题意可求点A，点C坐标，代入解析式可求抛物线解析式，当y＝0，可求点B坐标（2，0）；

（2）由题意可求直线BC的解析式为y＝x﹣2，设设点M坐标（x，x﹣2），即点E坐标（x，x²﹣x﹣2），可求ME的长，由ME＝（x﹣2）﹣（x²﹣x﹣2）＝﹣x² 2x＝﹣（x﹣1）² 1，∴当x＝1时，ME的最大值为1；

（3）分点P在x轴上方，x轴下方两种情况讨论，由平行四边形的性质可求点P坐标，代入解析式可判断点P是否在抛物线上．

∵当x＝1时，ME的最大值为1，∴点M（1，﹣1），∴点F（1，0），∴BF＝1，MF＝1，

若点P在x轴上方，∵四边形MBPF是平行四边形，

∴PB∥FM，PB＝FM＝1，∴点P（2，1）

当x＝2时，y＝x²﹣x﹣2＝0≠1，∴点P不在抛物线上，

当点P在x轴下方，∵四边形MBFP是平行四边形或四边形FMPB是平行四边形∴BF＝MP＝1，∴点P（0，﹣1）或（2，﹣1）

当x＝0时，y＝x²﹣x﹣2＝﹣2≠﹣1，∴点P不在抛物线上，

当x＝2时，y＝x²﹣x﹣2＝0≠﹣1，∴点P不在抛物线上．

综上所述：在抛物线上不存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．（2）中弄清线段ME长度的函数意义是解题的关键．

C．方法总结

在解答平面直角坐标系中平行四边形存在性问题时，首先可将四个点的坐标表示出来，然后利用与其中一点有关的三条线段分别为对角线进行分类，最后根据对角线互相平分时中点重合，构造方程组进行求解。

一般利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，利用两点的中点公式进行求解，当四边形只有1个顶点是动点时，我们可以利用已知的三点求出平行四边形的第4个顶点，然后看这个点的坐标是否符合题意；当有两个点是动点时，先设其中的一个动点的坐标为（a，b）在根据这3点的坐标求出第4点的坐标，再把这个点代入它所在直线或者抛物线的解析式中，求出a，b的值。

D.拓展应用

有时我们可以一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，这时候需要用到两点之间的距离公式（可以利用勾股定理计算），因为已知的两点所在的直线解析式可以求出，再利用平行线的k值相等，设平行于已知直线的解析式为y=kx b，分别联立方程求出两个交点的坐标（用含有b的式子表示），再计算这两个交点之间的距离，使这个距离等于已知两点之间的距离。

4．（2019•平顶山一模）如图，抛物线y＝ax² bx 3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．

（1）求抛物线的解板式．

（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．

（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．

【解析】（1）令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式为y＝﹣x²﹣2x 3；

（2）设点P（m，﹣m²﹣2m 3），利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，利用S△ABP＝S△PBM S△PBA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标P（-3/2, 15/4）；

（3）当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴点E（﹣1，﹣2），

如图，直线BC的解析式为y＝5x 15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3，

∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，

∴直线D₁D₃的解析式为y＝5x 3，直线D₁D₂的解析式为y＝x 3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，联立y＝5x 3，y＝x 3得D1（0，3），

同理可得D₂（﹣6，﹣3），D₃（﹣2，﹣7），

综上所述，符合条件的点D的坐标为D₁（0，3），D₂（﹣6，﹣3），D₃（﹣2，﹣7）．

根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．

5．（2019•抚顺县一模）如图，抛物线y＝﹣2/3x² bx c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），直线CD：y＝﹣x 2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；

（3）点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

巧用对角线探究平行四边形的适度拓展：在一些问题中，还常常会要求学生讨论菱形、矩形的存在性。此时我们可在上述基础上增加相应条件，如增加两条对角线互相垂直、邻边相等得到菱形，增加邻边互相垂直、对角线相等得到矩形，利用点坐标求得相应线段的长度从而求解。事实上利用坐标求解的思路还适用于等腰三角形、直角三角形、圆的存在性问题。有时，我们甚至还可以通过构造平面直角坐标系来求解。

6．（2019春•崇川区校级月考）如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C落在对角线OB上的点E处，折痕与OC交于点D．

（1）求直线OB的解析式及线段OE的长；

（2）求直线BD的解析式及点E的坐标；

（3）若点P是平面内任意一点，点M是直线BD上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，在点M的运动过程中是否存在以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）利用待定系数法求出k，直线OB的解析式为y＝4/3x，再利用勾股定理求出OB，由折叠求出BE＝6，即可得出结论OE＝4；

（2）利用勾股定理求出点D坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式为y＝1/2x 5，，最后用三角形的面积公式求出点E的横坐标E（12/5，16/5）；

（3）分两种情况，利用菱形的性质求出点N坐标，进而得出点M的横坐标，代入直线BD解析式中，即可得出结论．

由（1）知，OE＝4，∵以P、N、E、O为顶点的四边形是菱形，

∴①当OE是菱形的边时，ON＝OE＝4，∴N（4，0）或（﹣4，0），

Ⅰ、当N（4，0）时，

∵MN⊥x轴，∴点M的横坐标为4，

∵点M是直线BD：y＝1/2x 5上，∴M（4，7），

Ⅱ、当N（﹣4，0）时，

∵MN⊥x轴，∴点M的横坐标为﹣4，

∵点M是直线BD：y＝1/2x 5上，∴M（﹣4，3），

②当OE是菱形的对角线时，记对角线的交点为O'，PN⊥OE，

由（2）知，E（12/5，16/5），∴O'（6/5，8/5），

由（1）知，直线OB的解析式为y＝4/3x，

∵点O'过直线PN，∴直线PN的解析式为y＝﹣3/4x 5/2，

令y＝0，∴0＝﹣3/4xx 5/2，∴x＝10/3，∴N（10/3，0），

∵MN⊥x轴，∴点M的横坐标为10/3，

∵点M是直线BD：y＝1/2x 5上，∴M（10/3，20/3），

即：点M的坐标为M（4，7）或（﹣4，3）或（10/3，20/3）．

【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的性质，待定系数法，三角形的面积公式，勾股定理，求出点D坐标是解本题的关键．

7．（2019春•亭湖区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点B，AB/OB=3/4，反比例函数y＝k/x的图象的一支分别交AO、AB于点C、D．延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E．已知点D的纵坐标为3/2．

（1）求反比例函数的解析式及点E的坐标；

（2）连接BC，求S△CEB．

（3）若在x轴上的有两点M（m，0）N（﹣m，0）．

①以E、M、C、N为顶点的四边形能否为矩形？如果能求出m的值，如果不能说明理由．

②若将直线OA绕O点旋转，仍与y＝k/x交于C、E，能否构成以E、M、C、N为顶点的四边形为菱形，如果能求出m的值，如果不能说明理由．

【解析】（1）根据已知条件可求A、D的坐标，用待定系数法即求出反比例函数解析式为：y＝12/x；由点A坐标求直线OA的解析式，把直线OA与反比例函数解析式联立方程组，即求出交点 E（﹣4，﹣3）．

（2）把△CEB分成△COB与△EOB，以OB为公共底，点C和点E纵坐标的绝对值为高即求出三角形面积为24．

（3）先由OC＝OE，OM＝ON得四边形EMCN为平行四边形．①若为矩形，则对角线相等，即MN＝CE，易求出m的值；②若为菱形，则对角线互相垂直，但CE不与x轴垂直，矛盾，故不能成为菱形．

①以E、M、C、N为顶点的四边形能为矩形

∵M（m，0），N（﹣m，0），∴OM＝ON

∵OC＝OE，∴四边形EMCN是平行四边形

当MN＝CE＝2OC＝10时，▱EMCN为矩形

∴OM＝ON＝5，∴m＝5或﹣5．

②∵CE所在直线OA不可能与x轴垂直，即CE不能与MN垂直

∴以E、M、C、N为顶点的四边形不能为菱形．

总而言之，利用对角线解决平行四边形的存在性问题，应用了几何代数的知识，最大限度地体现了数形结合的思想，对提高学生的思维能力，解题能力大有帮助。

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